Der II. Abschnitt 
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Gliedern y, yf, von drei y, y r , y 11 , von vier y, y^, y 7/ , y 111 , 
von fünf y, y^, y /7 , y i7/ s y>^, u. s. w. geben wird. 
Erklärung. 
752. §. Ein bemerkenswerther Fall bei solchen Untersuchun 
gen ist, dass man bei der Ableitung der Differenzreihen aus ei 
ner Hauptreihe nach (744* §•) bisweilen auf eine Differenzreihe 
kömmt, welche aus lauter einander gleichen Gliedern bestehet: 
dann pflegt man die Hauptreihe eine arithmetische Reihe, und 
zwar vom ersten, zweiten, dritten, vierten Range, u. s. w. zu 
nennen, nachdem ihre erste, zweite, dritte, oder vierte Differenz- 
reihe aus gleichen Gliedern bestehend gefunden wird. 
Z. B. Die Zahlen 5, 9, i3, 17, 21, 25, 29 machen eine 
arithmetische Reihe vom ersten Range aus, weil ihre erste Diffe- 
renzreihe (744. §.■) 4* 4’ 4> 4> 4> 4 lauter einander gleiche Glie 
der hat. Dagegen ist die Reihe 1, 14, 29, 5o, 81, 126, 189 eine 
arithmetische Pieihe vom dritten Range; weil erst ihre dritte Dif 
ferenzreihe aus gleichen Gliedern bestehet: denn die erste Diffe- 
renzreihe ist 13, i5, 21, 3i, /\5, 63; daher die zweite 2, 6, 10, 
14, 18; und nun die dritte 4« 4> 4> 4-v 
753. §. Zusatz. Die Summirung der arithmetischen Piei- 
hen kann also nach (75o. 75r. §.) allemal geschehen; und sie 
wird dadurch erleichtert, dass, wenn die zusummirende arithme 
tische Reihe von irgend einem mten Range ist, man nur die er 
sten Glieder A'y, A 2 y, A'y, A m y von ihren m Diiferenzreihen 
bei der Rechnung nöthig hat, indem die Glieder aller Differenz- 
reihen , welche nach (744- §>) au ^ die folgen sollten, lauter 
Nullen seyn müssen (?52. §. ). Das allgemeine (r+i)ie Glied der 
vorgelegten arithmetischen Reihe, wofern ihre Glieder vom ersten 
an abgezählt werden, kann man nämlich nach (75o. §•) ; und 
aus ihm das summatorische nach (yÖi. §.) finden. 
Z. B. Sey die arithmetische Reihe des zweiten Ranges 7, 
14, 25, 4°5 5 9, y R gegeben, aus welcher nach (744* §.) die 
erste Differenzreihe 3,7, 11, i5, 19, und die zweite 4, 4? 4> 4 folgt. 
Bei jener Reihe ist daher y—4? A'yr:3, A 2 y=4? hingegen A 3 y:r:o, 
A 4 y = o, u. s. w.: das (r+i)te Glied derselben Reihe ist daher nach 
(750. §.) y R —y + AA x y + BA 2 yr: 4 + r + 2r 2 , aus welchem jedes Glied 
der gegebenen Reihe von ihrem ersten Gliede an erhalten wird, 
wenn man r:o, r= 1, r=2, r-3, u. s. f. setzt. 
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