die Summe der punctirten Ziffern in den geraden Stellen 2, 
die Summe der nicht punctirten Ziffern in den geraden Stellen 
ist i3, aber i3 — 2 = 11, folglich ist die Zahl durch 11 Heil 
bar , 7161:11 — 651. 
Schon bey der Multiplikation mit 11 (§. 46.) ist gezeigt 
worden, daß jede Ziffer des Mulriplikands zweymahl vorkommen 
muffe: einmahl in einer geraden, einmahl in einer 
ungeraden Stelle. Z. B. 651 X 11 = 7161. 
Wie folgt: Oder 
651 x 11 (in ff- 1) 65i X »» 0 + 10 ) 
651 651 
7161 7161 
Ist der Unterschied bey der Untersuchung 0, so muß dieZahl 
durch 11 theilbar seyn; ist er aber n oder ein Vielfaches davon, 
so ist dieser Unterschied wieder durch 11 theilbar, und folglich muß 
es die ganze Zahl seyn. 
§.134. Zahlen sind durch 12 theilbar, wenn 
sie durch 3 und 4 theilbar sind. Z.B. 5328:12=444; 
die Ursache aber, warum Zahlen durch 3 und 4, und mithin auch 
durch 12 theilbar seyn müssen, ist schon gelehrt worden (§. 126 
und 127). 
§. i35. Zahlen sind durch i5 theilbar, wenn 
sie durch 5 und durch 3 theilbar sind. Die Kennzei 
chen für 3 und 5, und die Ursachen der Theilbarkeit sind schon ge 
lehrt worden. Z. B. 345 :i5— 23. (§. 128.) 
Zahlen sind durch 16 theilbar, wenn die vier 
letzten Ziffern als eine Zahl für sich betrachtet, 
durch 16 th eilba r sind. Z. B. 543792, Die vier letzten 
Ziffern rechts 3792 sind durch 16 theilbar, also ist es die ganze 
Zahl, und 543792 :16=: 33987. Denn die Zahl 548792 besteht 
aus 540000-st. 8792; aber alle Zehntansende sind durch 16 
theilbar; sind also die vier letzten Ziffern durch 16 theilbar, so 
muß es die ganze Zahl seyn. 
§. i36. Zahlen sind durch 18 theilbar, wenn 
sie durch 2 und 9 theilbar sind. 3.^.7218:18 = 401. 
Die Kennzeichen und Ursachen der Theilbarkeit mit den Ziffern 
2 und 9 sind schon gezeigt worden (§. 125 und i3i). 
§-187. Zahlen sind durch 20 theilbar, wenn 
sie durch 4 und 5 theilbar sind, das ist, wenn sie