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V, das Hinterglied mit H, und das Vorderglied im zweyten 
Verhältnisse mir V, und das Hinterglied mit II, und den ge 
meinschaftlichen Exponenten mit E; so hat mau Folgendes: 
V : H — V : R, 4 : 2 -=, 6:3 
V -=HxE, V=:Hx(S, 4 = 2X2 = , 6 = 3X2 
VX ^ = H X E X bl, 4 X 3 = 2 X 2 X 3 
H X V — H X II X E / 2 x 6 = 2 x 3 x 2 
Hx»xE--H xH xE, 2x3X 3 — 3x2X 2 
VxH ^ XH, 4 X 3 = 6 X 2. 
Noch klarer wird dieser Beweis dadurch, wenn man die 
Vorderglieder durch den gemeinschaftlicken Exponenten dioidirt, 
wodurch (§. 272) die Proportion nicht aufgehoben wird. 
Durch die Division mit den Exponenten macht man die Vor 
derglieder den Hintergliedern gleich ; denn nach §. 26» ist 
V 
— -= II. 
E 
Man erhalt alsdann eine Proportion, wo die äußeren Glie 
der aus denselben Faktoren bestehen, wie die Mittelglieder, da- 
her auch die Produkte gleich seyn müssen. 
Z. B. 4 : 2 = 6 : 3 Exponent — 2. 
und beyde Vorderglieder mit 2 dioidirt: 
2 : 2 — 3 : 3, und 2 x 3 = 2 x 3 
Zusa X Es ist also nicht bloß die Gleichheit der Exponen 
ten, sondern auch die Gleichheit der Produkte der äußern und 
mittlern Glieder ein Kennzeichen der Richtigkeit einer Proportion. 
§. 281. Wenn man Produkte hat, die einander gleich sind, 
so kann man aus den Faktoren, aus welchen diese Produkte ge 
bildet sind, eine Proportion herstellen. Man darf nur die Fak 
toren des einen Produktes als äußere, die andern Faktoren als 
Mittelglieder ansehen. Man kann die Glieder, wenn sie als un- 
benannte Zahlen betrachtet werden, auf mehrere Weise verwech 
seln, ohne die Proportion selbst aufzuheben; denn so lange das 
Produkt der äußern Glieder gleich dem Produkte der Mittelglieder, 
ist, wird noch immer eine Proportion Statt haben (§. 280). 
Z. B man hätte die zwey Zahlen 36 und 36, und soll aus ihren 
Faktoren 4X9 und 3 x 22 eine Proportion bilden, und diesp 
Proportion so oft verwandeln , als es angeht: 
a b 
4X9 = 3x>2