Der Aufbau der Geometrie. 
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§ 69). Ein solches Lehrgebäude habe ich deshalb in dem Auf 
satz „Grundfragen der Geometrie“ (unter I) als hypothetische 
Geometrie bezeichnet, später 1 ) als mathematische Geometrie 
der physikalischen 2 ) gegenübergestellt. 
Der Mathematiker kann sich auf die mathematische Geometrie 
beschränken, indem er Herkunft und Anwendbarkeit der Geometrie 
als etwas für den Mathematiker Gleichgültiges betrachtet und die 
Frage danach ablelint. Innere Widersprüche in dem Lehrgebäude 
sind nicht zu befürchten. Aber die abgelehnte Erörterung kann 
nicht umgangen werden, wenn die Begriffe der mathematischen 
Geometrie und die zwischen ihnen angenommenen Beziehungen 
auf Naturgegenstände — wozu schon die gezeichneten Figuren 
zu rechnen sind — angewendet werden. Diesem Bedürfnis hat 
der „empiristische Unterbau“ zu entsprechen. 
5. Der Empirist kann, wenn er den Unterbau vollendet hat, 
daran das Lehrgebäude, das ich als die mathematische Geometrie 
bezeichnet habe, in seinem rein logischen Aufbau anschließen, 
ohne den Wortlaut zu ändern. Nur wird er dann, wo vom Punkt 
die Rede ist, darunter den „mathematischen Punkt“ verstehen, 
dessen Begriff im Unterbau aus dem physischen Punkt heraus 
entwickelt ist 3 ). 
Ich habe bisher nur vom Punkt gesprochen, nicht von Linie, 
Fläche oder Körper. Punkt, Linie, Fläche, Körper stehen in der 
ohne Unterbau hingestellten Geometrie außerhalb allen Zusammen 
hangs mit den Naturgegenständen, sogar schon mit den die Dar 
stellung begleitenden Figuren, gezeichneten oder „vorgestellten“. 
Dies tritt scharf hervor, wenn man auf die mathematische Geo 
metrie das in „Forschen und Darstellen“ unter Nr. 4 beschriebene 
Verfahren anwendet, also für Punkt, Linie, Fläche, Körper „Deck 
namen“ einführt, etwa: P-Ding, X-Ding, X-Ding, Ji-Ding. Eine 
Geometrie, die dies nicht restlos verträgt, kann der Mathematiker 
nicht als logisch einwandfrei anerkennen, gleichviel ob er Empirist 
sein will oder nicht. Siehe auch die verschiedenen Ausführungen 
in den „Vorlesungen über neuere Geometrie“ bezüglich der Rolle 
der Figuren bei Beweisen (Sachverzeichnis in der 2. Ausgabe 
unter „Figur“). 
J ) Siehe den Aufsatz: Physikalische und mathematische Geometrie, 
Annalen der Philosophie, Bd. 3, Heft 3 (1922). 
2 ) Bei Hj elmstev „Geometrie der Wirklichkeit“ in der erwähnten Ab 
handlung, später „natürliche Geometrie“ in den Abhandlungen aus dem 
Mathematischen Seminar der Hamburgischen Universität, ßd. 2 (1923). 
3 ) „Vorl. über n. Geom.“,2. Ausg.,S. 203 und Sachverzeichnis; in schärferer 
Fassung: Annalen der Philosophie, Bd. 3, Heft 3, S. 371.