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HISTOIRE 
assez voisines A a, B b> Cc. Par les points a et c soit tiree îa 
corde ac, et par le sommet b de la seconde ordonnée la parallèle 
S ¿T qui sera tangente à la courbe. Cela supposé, on aura, 
puisque l’arc ac est supposé parabolique, le petit espace hors la 
courbe ST cba la moitié du segment compris dans la courbe , 
car ce petit segment est les deux tiers du parallélogramme SacT. 
Mais l’espace total SacT est égal a B5x 2AB; et le trapèse 
AacC est = Aa-^-Cc x AB. Or la première de ces quantités surpasse 
l’aire curviligne, delà moitié de ce dont cette aire surpasse la 
dernière ; d’où il suit que le double de la première ajouté à la 
dernière est égale au double de la moyenne, ou de l’aire cur 
viligne cherchée5 ce qui donne cette aire égale à-—^ +Cc xAB, 
Si l’on a deux autres ordonnées équi distantes Dd, Ee, on 
trouvera de même l’espace CceE = Cc x CD ou AB 5 
conséquemment l’aire AacE sera Ail + ^ Bh + 4Di+Ee X AB. 
S’il y en avoit sept, on auroit~ a2Etr + 4 , F /~dT— lx AB„ 
d’où il suit qu’il faut faire la somme de îa première et la der 
nière, de quatre fois la seconde, quatre fois la quatrième, quatre 
fois la sixième, deux fois la troisième et deux fois la cinquième ; 
le tout étant multiplié par AB et divisé par 3 , sera l’aire 
cherchée. 
Soit pour en donner un exemple (Jig. 5i ) le quart de cercle 
AEa , dont le rayon AF soit — 8; que sa moitié soit divisée en 
quatre parties égales, pour avoir au moins cinq ordonnées, Aa 9 
B 3, ¿cc. m j la première A a sera 8 ; la seconde B5 =V 6ô = 7.98720 5 
la troisième ='V 60 — 7. 74596 ; la quatrième V55 7.4 1 619 ; la 
cinquième — V 48 — 6. 92820. Ces valeurs , substituées dans 
l’expression ci-dessus pour cinq ordonnées, donneront 3o. 61129, 
dont ôtant le triangle AE<? =: i3. 85640 , restera le secteur 
Aae = 16.75489 , lequel étant triplé, donnera le quart de 
cercle entier au rayon 8, égal à 5o. 26467. Et si nous réduisons 
cette valeur à celle du quart de cercle au rayon = 1 , c’est-à-dire 
en la divisant par 64 , nous aurons o. 78538 ; ce qui est con 
forme aux approximations connues jusqu’à la cinquième dé 
cimale inclusivement. 
11 n’est presque point de courbe algébrique, qui se refuse à ce 
moyen de mesurer son aire par approximation, et il est évident 
qu’on peut l’appliquer à la rectification des courbes. Car l’ex 
pression qui désigne la valeur d’un arc de courbe, se réduit 
toujours à une aire divisée par une quantité donnée. Ainsi