DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Ltv. I. 209 
qui quoique indirecte est fort ingénieuse. Jacques Bernoulli le 
démontre d’une autre manière et en tire la démonstration que 
l’espace asympt. de l’hyp. d’Apollonius est infini. Mais comme 
on démontre d’une autre manière que cette aire est infinie, on 
peut facilement en tirer la démonstration que la somme de la 
série harmonique ci-dessus et de toute autre du même genre 
est infinie , quelques mauvaises raisons qu’ait pu donner un 
jésuite dans les mém. de Trévoux et un M. Corradi dans un 
traité du calcul intégral, pour prouver le contraire. Nous 
donnerons ailleurs, d’après M. Maclaurin , un moyen de re- 
connoître si une série a une somme finie ou infinie. 
Une autre série , dont il étoit naturel de chercher aussi la 
somme, est celle-ci: i -+--j -H j-h- ~ &c. qui est la série 
réciproque des quarrés. Mais les moyens de M. Bernoulli sont 
impuissans, pour résoudre le problème; il démontre néanmoins 
sur ce sujet une chose fort curieuse ; c’est que dans cette série 
la somme des termes impairs 1 ^ ^ &c. est à celle des 
termes pairs ~ -+- -fg ■+• -H ^ &c. comme 3 à 1. Et en général 
si l’on a une série réciproque des puissances quelconques , 
comme 1 &c. ? l a somme des termes dans les places 
impaires, comme 1 -+-yr *+■ ~ sera a celle des termes 
pairs~~&c., comme r?— i esta 1. Ainsi dans la série 
réciproque des cubes, ce rapport sera dey à 1 ; dans celle des 
quarrés quarrés, ce sera celle de i5 à i. M. de Mairan a donné 
dans les mémoires de l’académie des sciences , pour l’année 1760, 
une démonstration particulière de cette vérité, plus simple et 
plus directe que celle de Bernoulli. Quant à la série réciproque 
des quarrés 1 ■+■ 7-+- ^ &c. M. Euler est, je crois, le pre 
mier qui en ait donné la sommation qui est du genre trans 
cendant ; et ce qu’il y a de singulier ici, c’est que la série réci 
proque des cubes, commej *+- r? &c., ne présente pas les 
mêmes difficultés ; il en sera question dans la suite. 
On ne sera probablement pas fâché de trouver ici une idée 
des moyens employés par les deux illustres frères pour la réso 
lution de ces problèmes. L’un d’eux consiste dans la résolution 
de la série donnée en plusieurs autres dont la sommation est 
déjà connue; mais celui dont ils font le plus souvent usage est 
de soustraire d’une série donnée, la même série diminuée de 
son premier terme, ou de quelques-uns de ses premiers termes. 
Soit, par exemple , la série harmonique 1 + + t &c. 
que je nomme A. sans m’inquiéter si sa somme, est finie ou infinie. 
Tonie III. D. d