DES MATHEMATIQUES. Part. V. Liv. I. 267 
aa -h xx 2 , AA - J r-yy 2 , où conséquemment a et x sont comme 
A et y , ces deux fonctions seront entr’elles comme ¿z 4 à A 4 , 
ce qui est presque évident ; car des composés semblables , soit 
superficiels , soit solides, soit hyper-solides , de quantités pro 
portionnelles , sont comme les côtés homologues de ces com 
posés élevés au degré de leurs dimensions ; delà suit une pro 
priété curieuse et utilement employée par Jean Bernoulli dans 
sa solution du problème des tautochrones dans un milieu ré 
sistant , savoir : 
2 0 . Que des fonctions semblables de dimension nulle sont 
égales entr’elles , quelle que soit leur composition. Cela se déduit 
aisément du théorème précédent, car a°-=. A 0 , ou x° — y°, 
toutes ces expressions se réduisant à l’unité. 
Lorsqu’on a une fonction donnée et explicite, elle est facile 
à différencier. Les règles communes du calcul différentiel en 
seignent à trouver la différentielle de toute expression compo 
sée de variables et de constantes. Mais si la fonction est in 
déterminée , et qu’on sache seulement qu’il y entre une va 
riable telle que x , comment exprimerons-nous sa différentielle? 
N’y ayant dans cette fonction que x de variable, il est clair 
que cette différentielle sera dx, multipliée par une autre fonc 
tion de x ; et comme elle est indéterminée , puisque la pre 
mière l’est elle-même , il est évident qu’on ne peut la désigner 
que par dx , multipliée par une nouvelle fonction de x , qu’il 
faudra désigner par un signe différent. Ainsi la première étant 
par supposition F : x , il faudra désigner la seconde par F': x, 
ou qx, comme on voudra j car cela est arbitraire , pourvu que 
les mêmes signes désignent toujours les mêmes choses. Ainsi 
la différentielle de F : x sera dx F': x , ou dxqx, et aussitôt 
que la première sera expliquée, dxF r \x ou dx <? : x le sera 
aussi, et vice versâ, du moins autant que le permettent les 
bornes du calcul intégral ; car si F ; : x devient connu, dxF'x 
est évidemment une expression qui , si elle est intégrable , 
donne Fx. 
Si la fonction est de deux variables , les mêmes principes 
font voir que d F (x, y) est dx F r {x : y') -h dy F” (x ,y ) , 
en faisant varier successivement x et y, et ainsi si la fonction 
est formée de plus de deux variables. 
Pour en donner un exemple , soit F (x) z=zax~-xx. Faisant 
varier x , on aura adx — ixdx \ ainsi la fonction F' (x) sera 
a—ix f et dxF r ( x) sera dx x ci — zx. Si donc ne connois- 
sant pas F (a:) on parvenoit à connoître F' (x), savoir a — 2x, 
on auroit dès-lors adx—2xdx, dont l’intégrale est ax—xxdzc. 
Ainsi F ( x ) seroit ax — xx dt c. 
Lia