DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Lrv. î. 271 
parce que ces puissances fractionnaires ayant toujours plusieurs 
valeurs, en donneroient à la fonction de x i développée , 
an plus grand nombre qu’avant son développement. 
Ces préliminaires établis , le cit. Lagrange fait voir comment ? 
étant donnée une fonction de x, où l’on suppose x devenir 
x -H i ( i étant un incrément ou décrément quelconque ) , les 
differens termes de la série ci-dessus se déduisent les uns des 
autres. Et d’abord , il est évident que le premier terme de cette 
série ne peut être autre que la fonction proposée de x ou F.t, 
puisque dans F ( x 4- i ) , faisant i == o , cette fonction se ré 
duit à Fx 5 on aura donc F (x 4- i ) — Fx pour ce qui doit 
completter la fonction cherchée, et il doit être de la forme ¿P, 
puisque, en supposant i=z o , on doit avoir ¿P —o. Ainsi en 
divisant par i , on aura U*+*)~ F * = P. Mais P lui-même étant 
une nouvelle fonction de x-i-i, on pourra en séparer ce qui 
résulte , en faisant / =o ; et si nous nommons ce résultat p % 
ce sera le coefficient du second terme ip de la série. Un pareil 
raisonnement fait voir qu’on aura P =p -t-zQ, ou P—p — /Q y 
ou , où prenant ce qui résulte en faisant ¿ = 0, on 
aura q , ou le coéfficient du troisième terme ; de même 
sera = R , qui donnera r, en y faisant i — o ; d’où résultera 
le quatrième terme vr, et ainsi de suite ; mais un exemple est 
nécessaire pour éclaircir cela. 
Soit à cet effet la fonction Fx égale à ~ , qui, en supposant 
x devenir x +i, deviendra Ainsi donc , d’abord le pre 
mier terme de la série sera - .et on aura + F *— 1 
x r 
I I £ • 9 n 1 
= —r—. — -r~. : ainsi P sera , 
on aura p —.—A e t — Lp 01ir second terme de la série cherchée.. 
On aura ensuite Éiif Q u — ; 4- ~ = ** -, .. qui divisé 
l ' X.X~x~L X 2 X 2 , X*. X -J— L ™ ^1 
x Ar i 
-, où faisant i—o, 
par i , donnera =z Q , et conséquemment q = -~r 7 en fai 
sant z = o ; ainsi le troisième terme i-q sera 
On trouvera de même le quatrième terme, au moyen de 
-— R , et en faisant dans le dénominateur , z — o, on aura 
r, et la série serad — L 4- ~ — L , où la loi qui règne entre 
ces termes est suffisamment apparente, pour la continuer aussi 
loin qu’on voudra,