3,88 HISTOIRE 
tangentes hyperboliques clans les cas analogues ou differens 
rapports de secteurs hyperboliques. Ainsi-, pour en donner encore 
un exemple, de même que dans lepercle-sin. 2j/r=2,sin.^xcos.j/j 
ainsi dans l'hyperbole, si 23/ exprime un secteur double de y, 
on aura sin. hyp. 2y=2 sin. hyp. y X cos. hyp.'y , où l or- 
donnée du secteur double iy , égale deux fois le rectangle de 
l’ordonnée du secteur simple par son abscisse , le tout divisé 
par le demi-axe transverse , Comme dans la formule circulaire 
2 sin. y cos. y 9 on sous-entend divisé par le rayon,. Lambert 
a même calculé sur ce principe des tables de sinus et co sinus 
hyperboliques , devant servir à ce qu’il appelle une trigonomé 
trie hyperbolique , et à la solution de certains cas de problèmes 
astronomiques où la trigonométrie circulaire paroît être en 
défaut. Mais nous nous bornons à cette indication. 
L’expression du sinus de l’arc de cercle que nous nommerons 
. . . t x — 1 — e' l V/— 1 11 i 
ici z y savoir x = —tt= > eC ceile du ço * sinus , 
J 
¡é Y : 
V- 
2 y— i 
, peuvent servir à déduire les série» 
connues qui donnent la valeur du sinus et du co-sinus par 
l’arc. Car on n’a qu’à réduire éiV — J , e 1 en séries, et 
faire les opérations indiquées sur les expressions ci dessus , on 
trouvera [jour le sinus , x •=. z 
T 1 . î 4 f 
t 7 
et y 
12.3 
&c. 
1.2.3.45 1.2.34.5.6.7 ’ 
1.2.3.4.5.î 
l V 1 cette série 1 +■ zV- 
1.2.34 
En effet, on a pour e 
----- 1 &c. et pour e celle-ci, 1 
îV- 
&c. 
V: 
i -i- V 
1, &c. (1). Donc otant la seconde de la première , et 
divisant par 2 V— 1 , les V— i disparoîtront , ce qui donne 
la série en question. Ajoutant au contraire la seconde à la pre 
mière , les termes où se trouve V 
1 auront des signes con- 
traires qui les feront aussi disparoître , et le restant divisé par 
2 donnera l’autre série. 
L’expression de l’arc de cercle par la tangente présente aussi, 
(0 On demandera sans doute comment p un ité , on e* — 1 — -f- — &c. 
e* 1 se réduit dans la série indi- c . , .• , \/ 
. . . , . , Si donc au lieu de x oni met z V — 1 
quee ; on le verra lorsqu on traitera des 
logarithmes : car on y fait voir que , e et — z Y— 1 et leurs puissances, on 
étant le nombre dont le logarithme est trouvera, les sériés ci-dessus. 
étant