DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 289 
étant traitée de la même manière , des formules qui, quoique 
compliquées d’imaginaires , ne laissent pas d’avoir leur uti 
lité ; mais les exemples donnés ci - dessus doivent suffire en 
çe lieu. 
Une formule dont il est fréquemment fait usage dans les 
écrits des analystes modernes , et principalement de ceux du 
Continent, dans les recherches physico - mathématiques , est 
celle-ci : Que 9 représente un angle quelconque , on a 
cos. n<r> zt V—1 sin. «9 = cos. 9 z±i ]/—1 sin. <p , ce qui se 
démontre de diverses manières; i°. par le simple calcul ana 
lytique des sinus et co-sinus d’angles, comme on le voit dans 
XAnalysis infinitorum d'Euler, cap. VIH ; 2 0 . au moyen du 
calcul différentiel ; on peut voir au surplus l’une et l’autre dans 
chapitre III des Elémens du calcul intégral des PP. Leseur et 
Jacquier. Le célèbre Jean Bernoulli, qui est le premier auteur 
de cette introduction des imaginaires dans le calcul, employé 
d’une manière ingénieuse cette expression à en trouver une 
autre dont il déduit les expressions générales des co-sinus et 
sinus d’arcs multiples. Car l’expression ci-dessus donne i°. en em 
ployant les signes supérieurs ]/—1 sin. n<p=cos.<p +v~ 1 sin. 9 
cos. n<p ; 2 0 . en employant les signes inférieurs , on a 
1/— I sin. 7/<p = COS. 779— cos. 9 —~V— 1 sin. 9 ’ d ou 1 on a 
&V—1 sin. 779~cos. <p+y— 1 sin. 9 — cos. 9 — Jé—1 sin. 9 j 
donc sin. n<p= cos. 9 -4- V 7 — I sin. 9 -- cos. 9 — U— 1 sin. 9 . et p ar 
2 \é— 1 
lin procédé semblable , tirant la valeur de cos. 779, on trouve 
COS. 779 = COS. 9~J-\/— 1 sin. 9 -f- cos. 9 \/ I sin. 9 
2, 
Or réduisant par la formule du binôme ces puissances n de 
cos. 9±1/— 1 sin. 9 en séries, les soustrayant l’une de l’autre 
pour sin. 7Z9, et divisant par dV— 1 , les ajoutant et divisant 
par 2, pour cos. /79, on a cette double série, dont ont disparu 
les imaginaires , cos. «9 == cos. 9” — ”~ T - cos. 9" 1 sin. 9* 
«+■ -—-— -f cos. 9 sm. 9 , occ. et sin. /¿9 =:-cos. 9 sin. 9 
—r ~~~ 1 ' cos. 9 _3 sin. 9’, &c. La loi de la progression est 
évidente pour quiconque est un peu versé en analyse. On voit 
également que toutes les fois que n sera un uombre entier , 
la série se terminera, et l’on aura une expression finie pour Iç 
sinus et le co-sinus de l’arc multiple. 
Tome III. O o