¿94 HISTOIRE 
la valeur de x est la quantité qui le multiplie dans la dernière 
ligne , et le dénominateur celle qui multiplie t dans la même 
ligne. 
Soyent maintenant trois inconnues et trois équations comme 
les suivantes , 
a a.: b y -t- c z H- d = o 
a r x b f y -t- c f z -t- d r z=. o 
a v x -H b"y -h c 11 z -h d"= o. 
En supposant l’introduction d’une quatrième inconnue t 
multipliant les d, d f , d" des trois équations précédentes , 
on aura le produit xyzt de ces quatre inconnues ; 
Changez y successivement x en a, y en b , z en c et t en d, 
avec l’attention ci-dessus prescrite à l’égard des signes , il en 
résultera cette première ligue 
ayzt — bxzt ■+> cxyt — dxyz. 
Changez maintenant dans cette ligne x en a r , y en b f , 
z en c' et t en d f et en ayant égard aux signes, on aura la 
ligne suivante , 
ab\t —■ ac'yt + ad‘y{ — a’ b[t bc' xt — bd'x{-±~ ca’yt— cb’xt + cd'xy — a'dy{-\- db'x[—de’ xy , 
d’où en rassemblant les facteurs de zi, yt, yz, &c. il résulte 
(ab'— a'b) —i (ad— a' c) (ad!— ad) yç-}- (bd— b't) xt— (bd'— b'd) — (cd'— d d) xy. 
Hans cette ligne enfin , changez x en a", y en b", z en c ,f 
et t en d" ; et en ordonnant, c’est-à-dire en joignant les 
coéfficiens de Xy , z , t, on aura enfin 
-f- [ ( ab f —- o f b ) c" — ( ac? ■— a r c) b" ( bc f — b r c) a 11 ] £ 
— [ ( ab r — a r b ) d" — ( ad r — a r d) b" (bd r — b r d)a i! ] z 
-+- [ ( ac'—• a' c ) d 11 — ( ad r — a'd) c 11 -t- (cd'— c'd)a" ~\y 
— [ ( bc'— b f c ) d ,r — ( bd'-~ b' d) c 11 -+- (cd'— c f d') b" ] x 
D’après ce que nous avons dit, nous aurons donc 
>- ( bd — b'c ) d"— ( bd! — b’d ) d‘ + ( cd’ —• c'd ) b" 
^ " ( ab‘ — a'b ) c’— ( ad — a'c ) b" ( bd — b’c ) a 1 ' 
__ ( ad — a’c ) d" — ( ad' — a’d ) c" -f- ( cd' — c’d ) a" 
d ' ( ab — a'b ) d — ( ac 1 — a'c ) b" -f- ( bc' — b'c ) a!’ 
— ( ab' — a'b ) d"— ( ad 1 — a'd ) b"-4- ( bd — b'c ) a" 
(ab' — d b )'c ( ac' — a'c ) i> ' -p ( bc' — b’c ) a"* 
J’ai peine à croire que par la voie ordinaire on parvînt en 
moins d’un jour entier à trouver ces expressions. Que seroit-ce, 
si l’on avoit quatre, cinq équations semblables ?