33o HISTOIRE 
réponse il envoya à Bernoulli une méthode pour le résoudre,, 
et il resoud en effet le cas qu’on a vu ci-dessus des paraboles 
de même sommet à paramètres variables. Cette méthode n’est 
pas à la vérité suffisante pour tous les cas du problème; mais 
quelques années après il en donna- une plus complète et qui lo 
conduisit à cette différentiation particulière qu’il appella de 
curva in curvam, parce que la quantité qui est constante dans 
une même courbe (comme le paramètre de chacune des para 
boles ci-dessus) devient variable et susceptible de différentiation 
dans une suite de courbes. 
Cette différentiation , appellée de curva in curvam, est une 
clef si nécessaire pour tous les problèmes de ce genre , que nous 
croyons ne pouvoir nous dispenser d'en donner ici une idée. 
Soit la courbe FM {Jig. 66 ) dont l’abscisse PQ = en , le pa 
ramètre a et l’ordonnée QM — A ( A est une fonction quel 
conque de x et de ce paramètre ) , l’aire PQM sera , comme- 
on sait, S.Adx. Mais si nous supposons ce paramètre a varier 
d’une quantité infiniment petite , comme da , il en résultera 
une courbe de même nature inliniment voisine PN. 11 s’agit 
de trouver ce que deviendra l’aire de la courbe au moyen de 
cette double variation de x et de a. 
Or il est évident que cet accroissement sera composé de 
l’accroissement Q/n , qui est adx , et de l’espace Pmn , qui 
n’est autre chose que l’intégrale du petit quadrilatère MN//w 9 
qui est égal au petit rectangle MroN , et celui-ci est lui-même 
égal au rectangle de dx par MN , qui est la différentielle de 
A, en y faisant seulement varier a, puisque x reste ici cons 
tante. Or la différentielle de A, en y faisant varier seulement 
a, est ^dadx ( où ^ exprime le coéfficient de da après la 
différentiation ). Ainsi le rectangle M/zz/zN sera dadx , dont 
l’intégrale est S . — dadx ; et comme da est ici une quantité 
constante , on peut faire passer da hors du signe d’intégration, 
et l’on aura pour l’expression de PMN ou Pmn y da S.^dx.. 
L’aire PQM devenue P7//P , aura donc pour accroissement 
Adx •+■ da S ~ dx . dont l’intécrale est S.Ariùz-f- S.daS 1 ^ dx. 
Delà résulte cette règle générale pour une expression quel 
conque A x , à laquelle se réduit toujours , ou une aire , ou 
un arc de courbe , &c. Différentiez d’abord selon x , et vous 
aurez une partie de la différentielle Adx. Différentiez ensuite 
la fonction Ax selon a, et que cette différentiation soit ¿ ¿ \da y