DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 331 
que vous multiplierez par dx, et vous aurez pour la seconde 
partie de la différentielle, daS.^dx. Ainsi la différentielle 
totale, en faisant varier x et a, sera Kdx daS/^ dx. 
Donnons - en un exemple parmi les plus simples possibles. 
Que la courbe PM soit une parabole au paramètre a , ainsi 
PM — ~Vax. La première partie de la différentielle sera sans 
aucune difficulté docV ax , car A est ici —]/ ax =: ]//z ~V x. 
Mais Va~Vx différentié selon a seulement, ou x étant réputé 
constant, esi-^~^y~x ; ainsi la seconde partie de la différentielle 
sera -^L.S. dx1/U. 
z y ci r 
Appliquons enfin ceci à un problème de la nature de ceux 
dont il est ici question. Une infinité de paraboles comme 
AB , AB / , AB", &c. ( fig. 6y ) étant donnée , quelle est la 
courbe qui les coupera toutes , en sorte que les segmens pa 
raboliques AEP , AE'P 7 , &c. soyent tous égaux. 
Pour le trouver, soit le paramètre d’une quelconque de ces 
paraboles =zp , x et y les co-ordonnées communes de cette 
parabole et de la courbe cherchée. Or l’aire de la parabole 
sera S. dx']/px ^ qui devant être constante, peut être égalée 
A la constante bb. Faisons maintenant varier p dans cette ex 
pression, il en résultera, comme on a vu plus haut, celle-ci, 
S. dx\^x» On aura donc pour la différentielle totale 
dxVpx -p p^rS.dxV m;et en intégrant, S .dxVpx+]/pjxV~x\ 
et au lieu de S. dxVpx , mettant bb son égale , et au lieu de p 
son égale , on aura enfin y- — xy, ce qui apprend que c’est 
iine hyperbole entre les asymptotes AD , AC qui coupe toutes 
ces paraboles sous la condition demandée. 
Avec un peu d’habitude en géométrie, on auroit bien vu 
que cette courbe étoit une hyperbole , car chaque parabole 
comme AEP est les deux tiers du rectangle inscrit dans l’hy 
perbole entre ses asymptotes. Mais ce ne seroit pas-là une so 
lution du problème , puisqu’elle ne seroit point applicable à 
tout autre cas. 
Cette différentiation des paramètres a été mise dans un jour 
particulier par le cit. Bossut , dans un mémoire inséré parmi 
ceux présentés à l’Académie des sciences ( tome II ). Il y donne 
la solution de divers problèmes du même genre , incompara 
blement plus difficiles. Mais revenons à notre sujet. 
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