DES MATHÉMATIQUES Faut. V. Lxv. I. 3|i 
du centre C au rayon CE un arc de cercle coupant l’ellipse 
en O. On aura B O — AO égal à une ligne droite qu’il assigne. 
Ce même mémoire d’Euler contient un précis des recherches 
Curieuses de Fagnano sur la Lemniscaîe , courbe en effet qui a 
des propriétés curieuses et qui méritoient l’attention des géo 
mètres. Elles y sont démontrées beaucoup plus brièvement (1). 
Il est à remarquer qu’on a bien pu trouver, et de diverses 
manières , des arcs elliptiques et hyperboliques dont la diffé 
rence fût une ligne droite ; mais je ne sache pas qu’on ait pu 
en trouver dont la somme fût rectifiable. 
On peut rappeler ici, attendu l’affinité de la matière, la dé 
couverte curieuse de Landen, insérée dans les Transactions 
philosophiques de 1775. ; savoir la rectification d’un arc hyper 
bolique au moyen de deux arcs elliptiques. Cette vérité démontrée 
par Landen d’une manière un peu embarrassée l’a été d’une 
manière beaucoup plus simple par le cit. Legendre dans un 
mémoire sur les transcendantes elliptiques. 
Nous terminerons cet article par un problème géométrique assez 
curieux et sur lequel les géomètres du premier ordre essayèrent 
leurs forces vers l’an 1700. 11 fut proposé par Offenbonrg en 1718. 
Qu’on se rappelle qne, vers la fin du siècle précédent, Viviani 
avoit proposé un problème plus curieux que difficile, savoir de 
percer une voûte hémisphérique de quatre ouvertures telles que 
le restant fût absolument carrable. Offenboûrg proposa de la 
percer de plusieurs fenêtres ovales dont le contour fût absolu 
ment rectifiable. Je ne vois pas cependant que personne s’en 
soit occupé avant 1780 ou 1732. Herman le premier, à ce qu’il 
me paroît, en donna une solution., mais elle étoit vicieuse, 
ainsi que le fit voir Bernoulli, qui le résolut le premier et de 
deux manières; l’une en cherchant sur la surface de la sphère 
une courbe absolument rectifiable; l’autre en décrivant sur la 
surface de cette même sphère, une courbe par un procédé sem 
blable à celui par lequel on décrit une épicycloïde. Qu’on ima 
gine pour cet effet un cercle soit grand soit petit, et qu’un cercle 
dont la circonférence seroit toujours appliquée à la surface sphé 
rique , roule sur ce premier cercle comme pour la cycloïde ou 
les épicycloides ordinaires, un point de ce cercle roulant décrira 
(1) La Lemniscate est une courbe du 
quatrième degré faite en forme de huit 
de chiffre et dont l’équation est æx-+- 
yy — V xx —y y. T! y en a bien 
plusieurs autres du même ordre qui ont 
une forme semblable, mais la courbe dont 
nous parlons est proprement celle à 
laquelle on a donné le nom de Lmnis- 
cate. Parmi ses propriétés une des prin 
cipales est d’être susceptible, quoique 
rentrant en elle-même, de quadratur© 
tant définie qu’indéfinie. Son aire totale 
est égale au carré de son demi axe. C’est 
encore une propriété singulière de cette 
courbe , d’avoir sa circonférence divisible 
en portions égales quoique dissemblables,