DES MATTHÉM AIQUES. Part. V. Liv. I. 345 
que y ) ainsi l’intégrale de ^ dy, qui est z ( puisque l’expres 
sion ci-dessus résulte de la différentiation ) , en ne faisant 
varier que y , sera égale à S. P dy, plus à une fonction qui 
ne peut contenir que des x, et qui, semblable à la constante 
qu’on ajoute à toute intégrale pour la rendre complète , ne 
peut être déterminée que par les conditions du problème. 
Désignons indéfiniment cette fonction de x par F (a?), on 
aura z = S. P dy -4- F (a:). Si l’on avoit eu P , on auroit 
trouvé z = S. P dx -4- F (y). 
Donnons un exemple. Soit l’équation j y =- axy -h y 1 , on 
aura évidemment S. P dy ■=. a -lT- -+- ^ ; car dans cette ex 
pression de P, on n’a que y de variable. Ainsi z sera a -~- 
■H-^H-Æ-+-F(a?). Différentions en effet cette équation 
en ne regardant que y comme variable , on aura dy — 
( axy + y 3 ) dy — P dy, car F ( x ) , par la nature de la question , 
ne doit donner aucune différentielle, x étant réputée constante 
à l’égard de y. 
Nous avons supposé dans cet exemple z n’être qu’une fonc 
tion de deux variables y et x; mais z pourroit être une fonc 
tion de trois variables, et qu’on n’eût qu’une ou deux diffé 
rentielles partielles. Alors, et dans le premier cas, la fonction 
arbitraire devroit être une fonction des deux autres variables ; 
ainsi , supposant que z fût une fonction de x , y, u , et que 
l’on n’eût qu’une des différentielles partielles de z comme 
la méthode d’intégrer seroit la même , on n’intégreroit qu’à 
l’égard de x , et la fonction à ajouter seroit une fonction de 
y et u qu’on désigneroit par F (y, u). Enfin , dans le cas où 
l’on auroit eu deux des différentielles partielles, comme ^ ? ^ ? 
des trois qui dévoient former la différentielle complète , il n’y 
auroit à ajouter qu’une fonction de u, F(zz) savoir celle de la 
variable dont la différentielle partielle est absente, et ainsi s’il y 
avoit un plus grand nombre de variables. 
Mais passons à des équations aux différentielles partielles plus 
composées , quoique toujours du premier ordre , et z n’étant 
supposé fonction que de deux variables. Celle qui suit immé 
diatement la précédente en ordre de difficulté est celle-ci : 
4*^=0. Vient ensuite celle-ci : Pz = o. Enfin, 
Tome III. X x