DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 347 
différentions-la avec les attentions convenables, nous trou 
verons successivement ( parce que y est supposé constante ) 
dz dx F (y ), parce que les fonctions f(y) et F (ÿ) ne 
contenant pas x, demeurent constantes dans les différentiations 
relatives à cette variable 5 et divisant par dx , on aura — =. 
•^-4- F (y) j et en différentiant de nouveau, on trouvera — 
z=zyxdx. On aura donc enfin, en divisant par dx, ^—xyz=zo. 
On voit par-là que l’équation étant du second ordre, pour 
rendre l’intégrale complète , il faut y ajouter deux fonctions 
arbitraires differentes de la variable, dont la différentielle n’entre 
pas dans l’équation donnée. 
Si l’équation étoit du troisième ordre, comme xy r on 
employeroit pour l’intégrer de semblables substitutions succes 
sives. Ainsi, en supposant d’abord —ce qui donne 
= j; j et substituant ^ à la place de ~ , on auroit 
xy — ~ x et duz=zyxdx j et en intégrant, u = ~ -+- F (y) , 
c’est-à-dire, ^ F (y) , ce qui réduit l’équation au 
second ordre ; et on la réduira par le même procédé que ci- 
dessus à celle - ci : x F ( y) f ( y ) , et enfin à 
z — y -~ -+- x 2 F (y ) -+- x f (y ) -t- <f> (y ) , ce qui se vérifiera facile 
ment par la différentiation , comme on a fait dans l’exemple 
ci-dessus. 
Si l’on avoit xy = AT, il faudroit supposer T = u , et 
par un procédé semblable aux précédens , on aura u ou | 
— y + F (y ) , et conséquemment dz — y -~~ -h dy F (y ) , 
et en intégrant de nouveau z — *—^—h Sdy F (y ) -\-f( oc ) ; 
d’où résultera enfin (parce que Sdy F (y) n’est autre chose 
qu’une fonction de y ) z = y -~- -t- F (y ) x). 
Enfin si z étoit une fonction de trois variables comme x,y, u t 
et qu’on eut une équation comme xyu—^~^ ==Q & intégrer, 
on trouveroit par des substitutions semblables z = H 
F (y, u) 4- d) y f u) t où l’on voit que dans ce cas 
X x a