DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 349 
à différentielles partielles à intégrer. On trouve dans le calcul 
intégral d’Euler une instruction complète sur ce sujet; mais nous 
ne pouvons ici qu’indiquer cette source, la première et princi 
pale de toutes : à son défaut , car tout le monde ne peut pas 
avoir ce volumineux ouvrage , on peut consulter le traite du 
calcul différentiel et du calcul intégral du cit. Lacroix, un des 
plus habiles géomètres que nous ayons. 
Tels sont les principaux artifices des inventeurs et premiers 
promoteurs de ce calcul, d’Alembert et Euler. Mais les géomètres 
qui les ont suivis y en ont ajouté beaucoup d’autres que nous ne 
pouvons, attendu l’abstraction de la matière, qu’indiquer à nos 
lecteurs. Le cit. Lagrange nous paroît être le premier qui ait 
étendu ces spéculations, en résolvant un cas de ces équations, 
qui avoit jusqu’alors éludé la sagacité des analystes. C’est celui 
des équations aux différentielles partielles linéaires du premier 
ordre entre un nombre quelconque de variables (1), ce qu’il a 
ensuite étendu à celles qui n’étoient pas linéaires, en enseignant 
la manière de les réduire aux premières (a). On peut aussi voir 
dans les Mémoires de VAcadémie de 1787 , un mémoire des 
plus savans du cit. Legendre, où il parcourt avec soin tous les 
cas où l’intégration peut s’exécuter. 
Nous ne saurions, on doit le sentir, entrer dans des détails 
sur les équations différentielles de ce genre et du second ordre* 
Euler en a attaqué et résolu quelques-unes. Le cit. Laplace a 
été plus loin, et a donné (3), pour intégrer l'équation linéaire 
du second ordre entre trois variables et leurs différences par 
tielles, une méthode que le cit. Legendre a perfectionnée encore 
dans les Mémoires de VAcadémie de 1787. 
Parmi les difficultés de ce calcul, il en est une qui , si elle 
n’est pas la plus grande, est l’une des plus considérables; c’est 
la détermination des fonctions arbitraires à ajouter à l’intégrale 
pour la compléter. Comme l’on joint une constante à une inté 
grale ordinaire, et qui se détermine ensuite d’après les condi 
tions de la question , qui quelquefois la rendent zéro , ou lui 
donnent une valeur quelconque, tes fonctions arbitraires qui se 
joignent à l’intégrale, ont besoin d’être déterminées par les 
conditions de la question , et ces conditions sont d’ordinaire , 
que cette fonction (lorsqu’il n’y en a qu’une, comme dans l’in 
tégration des différences partielles du premier ordre) soit égale 
à cette grandeur, ou prenne telle forme particulière lorsque rû 
(1) Mêm, de Berlin , ann. 1774. 
(2) En 1784, Paul Charpit, qu’une 
mort prématurée enleva peu de temps 
après aux mathématiques , qu’il cultivoit 
avec succès, combinant ces deux mé 
thodes de Lagrange , parvint à réduire 
l’intégration des équations quelconques 
du premier ordre à celle de 2 ou 3 équa-» 
tions différentielles totales. Lacroix. 
(3) Mcm, de l’Acad. 1773.