46 HISTOIRE 
combien pins laborieuse encore seroit la solution d’une équation 
du troisième ou quatrième degré. M. Fontaine semble n’avoir pas 
ôsé y toucher. M. Dalembert a proposé dans l’article équation 
de l'Encyclopédie, quelques difficultés contre la méthode de 
M. Fontaine, auxquelles il ne paroît pas qu’il ait répondu. Après 
cette sorte de digression, je reprends le iil des recherches de 
M. Euler. 
Ce grand géomètre ne s’est pas borné à traiter cette matière 
des équations, dans le mémoire dont on a donné plus haut l’es 
quisse , et où elle n’est traitée qu’occasionnellement. 11 a attaqué 
le problème plus directement et, pour ainsi dire , davantage 
de front, en 1762 (1). Il remarque que dans une équation du 
second degré, sans second terme, la racine est exprimée par un 
radical du second degré : que dans une du troisième, elle l’est 
par deux radicaux du troisième degré, enveloppant un radical 
du deuxième, d’où il se croit fondé à conclure que dans une 
équation du degré m, la racine doit être exprimée par m *— 1 de 
radicaux du degré m j il se forme donc une expression composée 
de radicaux du degré de l’équation, et renfermant, à l’exemple 
des formules du troisième et quatrième degrés des sous-ra 
dicaux du second degré, le tout en quantités indéterminées et 
tellement combinées, qu’il puisse en résulter autant de valeurs 
différentes que le degré de l’équation a d’unités. Il élève ensuite 
cette expression à ce degré \ ce qui lui donne une équation qui 
doit être égale à la donnée, en sorte que les comparant terme 
à terme, on doit trouver la valeur de toutes ces indéterminées. 
Il fait voir en effet la justesse de cotte considération , en l’ap 
pliquant aux équations des second, troisième et quatrième degrés ; 
car il arrive précisément aux mêmes formules que donnent 
d’autres méthodes. Il y avoit donc lieu d’espérer que cet artifice 
appliqué au cinquième degré en donneroit la solution. Mais 
arrêté par la difficulté des éliminations des radicaux, il est obligé 
de se borner à quelques cas particuliers d’équations de ce degré, 
dont il assigne les racines fort compliquées. Car elles sont, et 
devroient être par sa supposition, formées de quatre radicaux du 
cinquième degré , tels que 'j/Azfcf/B, et au surplus sujettes au 
cas irréductible 5 car , par exemple , dans cette équation x 5 
—• 40a; 3 — 73.27 2 + 5ox + 98 , la racine est ainsi exprimée 
y- 3 1 + 0 j/—* 7 + l/'- H 31 —1 3 l/—■ 7 + 1/ —• 18 + 10l/ —h 7 
18—< iol/—' 7* Cette équation a cependant au moins une 
C x ) A/-OVÎ Commentant, Acad. Petrop. t. IX.