DES MATHÉMATIQUES. Part. V. Liv. I. 5 7 
impossible. Le Cit. Lagrange pense au reste que si cette réso 
lution n’est pas dans ce cas, elle dépend de quelque fonction des 
racines ou manière de les exprimer différente de toutes celles 
employées ou tentées jusqu’à présent. J’ajouterai pour finir que 
si quelqu’un parvient jamais à la résolution absolue de cet inté 
ressant problème , il est à croire que ce seront les réflexions et 
les vues du Cit. Lagrange qui y contribueront le plus. 
V I. 
Tous les efforts des Géomètres pour la résolution générale des 
équations ayant eu aussi peu de succès, il a fallu , comme dans 
d’autres cas désespérés , se retourner du côté des approximations. 
C’est-là l’unique ressource qui reste lorsque toutes les méthodes 
de réductions n’ont point réussi. On est même , à bien dire , 
contraint d’y recourir dès qu’on est assuré que les racines de 
l’équation sont irrationelles ; ce qui est le cas le plus fréquent. 
Car, sans aller chercher un exemple plus composé que celui du 
troisème degré , n’a-t-on pas une idée plus nette d’un nombre 
exprimé en fraction décimale , que d’une expression aussi enve 
loppée de radicaux que le sont les formules de Cardan , lors 
même que l’extraction de la racine est possible. La résolution 
générale des équations est sans doute à désirer , si on l’envisage 
dans la rigueur géométrique ; mais il est fort probable qu’elle 
n’affranchiroit pas de la nécessité des approximations. 
La méthode d approximation la plus générale est celle qu’ont 
donnée Nenton, Halley et Raphson. Nous les joignons ensem 
ble , parce qu’ils y sont venus tous les trois ou par des voies 
différentes , ou à l’insçu les uns des autres. Mais Neuton est 
celui à qui est due sa première invention ; car il la communiqua 
au docteur Barrow des l’année i66y , dans son écrit intitulé : 
Analysis per aequationes numero terminoi'um injinitas. Voici 
en peu de mots le principe et l’esprit de cette méthode. 
On suppose qu’on ait déjà la racine entière la plus approchée , 
c’est-à dire, qui ne diffère de la véritable que de moins d’une 
unité. C’est-là la base de l’opération. On égale donc ce nombre 
plus une nouvelle inconnue, à celle de l’équation proposée et 
on la substitue à sa place. On a une autre équation dont la racine 
est ce qu’il faudroit ajouter à la première pour avoir sa valeur 
exacte. Mais comme on suppose que ce reste est fort petit, ou 
une quantité moindre que l’unité, on en conclud que la valeur des 
termes les plus élevés est fort petite. Car la valeur d’une fraction 
devient d’autant plus petite qu’on l’élève à une plus haute puis 
sance, Ainsi tous les termes de cette nouvelle équation où entre 
Tome IIL • H