DES MATHÉMATIQUES. Part, V. Liv. I. 6y 
arriver et même-qu’on peut rend.e nécessaire par la fixation des 
valeurs respectives des coeificiens de l’équation ; voilà cette 
courbe qui deviendra comme AE (fig. ¡6', n°. 2), a l’égard de 
la tangente F G. Ce point en contiendra trois de la coi. be , et 
cette tangente sera censée la rencontrer et! trois points . comme 
une tangente simple en réunit deux. C’est un point d inflexion , 
mais plus composé que les points d inflexions ordinaires, comme 
celui de la conchoïde supérieure , qni } après avoir été concave vers 
son axe, devient convexe vers lui. Il n’y a pas là de serpentement. 
Mais si la courbe que nous avons vue dans la figure précé 
dente prendre son cours par ED , revenoit encore dans la fig. iy, 
n°. i, couper la même droite en E, et de là continuoit par EF; 
qu’ensuite les quatre points d'intersection se rapprochassent au 
point de coïncider , cette double inflexion disparoîtroit , et tous 
fes points réunis paroîtioient un point ordinaire. Néanmoins 
’analyse saura le distinguer des autres ; on sait , par exemple , 
que c’est ce qui arrive au sommet de la parabole quarrée-quarrée, 
dont l’équation est a)y~x 4 i en effet ce serpentement de la courbe 
au dessus et au-dessous de son axe, est visible dans la courbe de 
ce genre, dont l’équation est a^g — x 4 (¿¿fcc) x-\-bbcc* 
Elle coupe son axe quatre fois à des distances c et — c, b et — b 
de son sommet. Car en faisant y — o , x reçoit ces quatre valeurs. 
Ce qui indique les points ou l’axe coupe la courbe. Or la para 
bole y — x 4 ou a’yz=z x*, n’est autre chose que cette dernière, 
où les lignes b et c décroissant continuellement sont devenues ~o. 
Il y a des genres de serpentemens encore plus composés à 
l’infini; car rien n’empêcheroit qu’une couibe comme a b ( fig. 18, 
n°. i ) , coupant d’abord son axe en b ne le coupât encore en 
c, d, e,f, et après ces cinq points d’intersection ne prît 
son cours f g en remontant de l’autre côté de l’axe , et c’est 
effectivement le cas d’une courbe parabolique du cinquième 
degré qui , tous ces points d’intersection se rapprochant en un , 
devient la parabole du cinquième degré a 4 y=x^ ( fig. 18, n°. 2 )', 
ayant un point d’inflexion à son origine , mais comme l’on voit 
bien plus composée que les points d’inflexion ordinaires , et que 
ceux de la parabole du troisième degré. Eorsque le nombre de 
ces intersections infiniment rapprochées est impair , la courbe y 
forme un point d’inflexion apparente ; mais lorsque ce nombre 
est pair , alors ils sont invisibles ; ils n’existent cependant pas 
moins , et l’analyse enseigne les moyens de les reconnoître. 
Une autre singularité des courbes d’ordres supérieurs et qui 
commence au troisième degré , c’est le point de rebroussement. 
Une courbe après avoir eu le cours ABC , rebrousse quelquefois 
tout à-coup en arrière au point C. Alors la nouvelle branche CD 
est toujours tangente à la première , où les deux branches ont