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Ueber die Gleichung: Au -j- lc*u = 0. 
für die Intervalle 0 < r < r, 0 < cp < 2 je, wobei die 7c OT>ra 
die Wurzeln einer Gleichung von der Form (27) sind. Speciell 
ist hierin die bekannte Reihendarstellung 
00 
(29) H -A-m, n J-tt (J^m, n ^*) 
1 
für eine beliebige Function von r enthalten, bei welcher 
h m , n alle Wurzeln einer und derselben Gleichung (27) mit 
constantem, übrigens aber beliebigem n durchläuft, und die 
Coefficientenbestimmung durch die Integraleigenschaft 
F 
j Jn (kn, n r) Jn (k, n r) rdr = 0 (l ^ m) 
o 
ermöglicht wird. Diese letztere folgt unmittelbar daraus, 
dass auch zwei Normalfunctionen mit gemeinsamem n die 
Orthogonalitätseigenschaft besitzen, d. h. dass die Gleichung 
besteht: 
r 2 7t i 
J'J* J n (km,nr)Jn(hi,nr)cos 2 n((p — (p n )rdrd(p = 0. 
0 0 
Ist r unendlich gross, so bilden die ausgezeichneten Werthe 
h eine continuirliche Mannigfaltigkeit, die alle Werthe von 
Null bis oo umfasst; denn es genügt dann ein unendlich 
kleiner Zuwachs von 1c, damit h .r von einer Wurzel der 
Gleichung (27) in die nächstgrössere übergeht. Die Reihe (29) 
wird dann zu der für alle positiven Werte r gültigen Inte 
graldarstellung 
CO 
(29') I A n (k) J n (hr) dh 
o 
für eine willkürliche Function von r, die Doppelsumme zu 
der gemischten Darstellung 
(28') 
A n Qc)J n (kr)dk 
0 
einer in der ganzen Ebene beliebig gegebenen Function. — 
Um die Normalfunctionen eines Kreisringgebietes zu bilden,