Yon den ausgezeichneten Lösungen. § 7. 
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wobei die k m , n 
l sind. Speciell 
., bei welcher 
mng (27) mit 
lläuft, und die 
nschaft 
m) 
telbar daraus, 
isamem n die 
die Gleichung 
lep — 0. 
meten Werthe 
s Werthe von 
ein unendlich 
r Wurzel der 
Die Reihe (29) 
gültigen Inte- 
)pelsumme zu 
k 
Function. — 
ietes zu bilden, 
sind die allgemeinen Integrale der Differentialgleichung (26') 
zu benutzen, also neben den Bessel’schen Functionen erster 
Art die Bessel’schen Functionen zweiter Art Y n (kr), das heisst 
diejenigen Integrale von (26'), welche für r = 0 unendlich gross 
werden (Y n (kr) wie r~ re , Y 0 (kr) wie log ßr); denn es ist jetzt 
kein Grund vorhanden, dieselben auszuschliessen (was beim 
Yollkreis geschehen muss, damit die Lösung im Mittelpunkte 
endlich bleibt). Man braucht auch eine Integrationsconstante 
mehr, weil jetzt zwei Grenzbedingungen: 
\R n (r x ) -j- jRnfa) = 0, h 2 R n (r 2 ) — R' n (r 2 ) = 0 
zu befriedigen sind. Es bedeuten r 1} r 2 die Radien des 
äusseren bezw. inneren Grenzkreises, h 1} h 2 zwei gegebene 
positive Constanten. 
Die Normalfunctionen haben also die Form 
u m , n = Rn COS n(cp — cp n ) 
{ Am t n Jn (km,n ^) "j~ Bm,n Y n (k>rn, n r) } COS n(jp <Vn)’l 
darin ist n aus demselben Grunde wie beim Vollkreise eine 
ganze (positive) Zahl. Der Werth von k m>n und zugleich 
das Verhältnis A m , n : B m>n bestimmt sich aus den gerade 
erwähnten zwei transcendenten Gleichungen, und der abso 
lute Werth von A mjJl oder B m , n aus der Gleichung 
n 
fJ*Um, n df= 1 oder j* R 2 rdr = ~\ 
»i 
dagegen bleibt auch hier cp n willkürlich. — Für specielle 
Werthe von r x und r 2 giebt es übrigens Normalfunctionen, 
in welchen keine BesseTsche Function zweiter Art vorkommt; 
denn die Normalfunction J n (k m , n r) cos n{cp— (p n ) einer vollen 
Kreisfläche bei der Randbedingung ü = 0 ist z. B. auch eine 
solche für einen Kreisring, der von zwei Knotenkreisen der 
Function J n (km )n r) begrenzt wird. — Die Entwickelung einer 
willkürlichen Function von r und cp in die Doppelreihe 
(28") 22 {A m , n J n (k m , n r)—(— B m , n Y n (km, n r)} cosn(cp (pn) y 
auf welche das Problem der ringförmigen schwingenden Mem 
bran führt, scheint noch nicht näher untersucht worden zu sein.