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Ueber die Gleichung: Au №u — 0. 
Die volle Kreisfläche und Kreisriugfläche sind Grenzfälle 
eines von zwei Badien und zioei concentrischen Kreisen be 
grenzten Flächenstückes, welches im Folgenden kurz als Bing- 
sector bezeichnet werden möge. Versucht man, für einen 
solchen Ringsector, welcher von den Kreisen r — r x und 
r — r 2 , von den Radien cp — 0 und cp — y begrenzt sei, der 
partiellen Differentialgleichung Am №u = 0 ebenfalls durch 
ausgezeichnete Lösungen von der Form B(r) ,d>(cp) zu ge 
nügen, so wird wieder 
O — cos v{cp — cp v ) 
und B ein Integral der Differentialgleichung (26'); allein 
jetzt ist v im Allgemeinen keine ganze Zahl, sondern bestimmt 
sich neben cp v aus den beiden Grenzbedingungen für cp — 0 
und cp = y. Lauten diese Grenzbedingungen hü -4- ~ 0 
'r I ö Ö l J. n 
oder, was dasselbe ist, 
+ = 0 für r P == V’ V« — 7^ = ° für cp — 0, 
so lassen sie sich durch Lösungen B v (r)(p v (cp) offenbar nicht 
befriedigen, wenn hf und hf Constanten sind, sondern nur 
dann, wenn letzteres von r . hf = \ und r . hf = h 2 gilt, 
also hl und hl proportional mit y sind. Man sieht leicht, 
dass Aehnliches allgemein beim Gebrauche krummliniger Co- 
ordinaten für solche Begrenzungslinien oder Flächen gilt, 
welche einer Schaar nicht äquidistanter Curven (hier der Radien) 
oder Flächen angehören, weil dann das Normalenelement dn 
auch von denjenigen Coordinaten abhängt, welche längs der 
betreffenden Begrenzungstheile nicht constant sind. Wir haben 
also folgenden Satz: 
Soll sich die Differentialgleichung ¿Au -j- k 2 u = 0 für Ge 
biete, deren Begrenzungscurven bezw. Flächen durch Constant- 
setzen irgendwelcher krummliniger Coordinaten gegeben sind, 
durch ausgezeichnete Lösungen integriren lassen, die Producte 
aus Functionen von je einer dieser Coordinaten sind, so muss 
das h der Grenzbedingung für jedes Begrenzungsstück eine ganz 
bestimmte Function der längs des letzteren variabelen Co 
ordinaten sein.