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Ueber die Gleichung: Au -f- Fu — 0. 
ebenfalls stetig, und wenn man man nur etwaige vielfache Wurzeln 
mit der richtigen Multiplicität zählt, so geht bei der Aenderung 
keine jener Wurzeln verloren und es wird keine dabei gewonnen. 
Wenn y ein aliquoter Theil von n ist^ so werden die 
sämmtlichen v ganze Zahlen, und man erhält specielle Fälle 
der Normalfunctionen des Kreisringes, was auch unmittelbar 
daraus hervorgeht, dass dann die den Ringsector begrenzen 
den Radien Knotenlinien des vollen Ringes sind, und dass 
man Knotenlinien jederzeit durch feste Begrenzungen ersetzen 
kann, ohne den Schwingungszustand zu ändern. 
Um die vollständigen Normalfunctionen des Ringes als 
Grenzfall des Ringsectors abzuleiten, hat man y = 2jt zu 
setzen und an die Stelle der Grenzbedingung ü = 0 oder 
— = 0 bei cp — 0 und cp — 2 n die Bedingung der Ferio- 
clicität treten zu lassen, um nämlich den Zusammenhang des 
Ringes durch Verschmelzung der ursprünglichen geradlinigen 
Grenzen herstellen zu können. Uehrigens sind die Normal 
functionen des Kreisringes identisch mit der Gesammtheit 
derjenigen Normalfunctionen eines Ringsectors vom Winkel 7t, 
welche man erhält, wenn man längs beider begrenzenden 
Radien erstens ü — 0, zweitens = 0 vorschreibt; denn 
’ 0 n 7 
man kann offenbar jede Normalfunction des Kreisringes in 
zwei Theile zerlegen, welche in Bezug auf einen und den 
selben beliebig gewählten Durchmesser antisymmetrisch 
bezw. symmetrisch sind. — Zum Vollkreis endlich gelangt 
man, wenn man r 2 = 0 werden lässt und nicht mehr fordert, dass 
bei diesem Grenzübergange (hu — = 0 bleibt, son 
dern dass der Nullpunkt schliesslich kein singulärer Funkt 
wird, d. h. dass u in demselben endlich und nebst seinen 
ersten Derivirten stetig ist. 
Die Grenzbedingung der Periodicität hat übrigens auch 
im Falle eines beliebigen gebrochenen v eine anschauliche 
Bedeutung. Denn man kann sich, ohne dass die Diffe 
rentialgleichung und ihre ausgezeichneten Lösungen eine 
Aenderung erleiden, den Ringsector auf einen Kegelmantel