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Enthält das Gebiet den einen Pol (ff = 0) in sich, ist 
es also eine Kugelcalotte, so sind die Normalfunctionen: 
TT^ff) . cos n(ijP — cp n ), 
wobei g eine Wurzel der transcendenten Gleichung ist: 
-j- n^to) = 0. 
Hier, wie auch bei der Kugelzone, muss jedoch die be 
schränkende Voraussetzung gemacht werden, dass ff^ < n - 
ist, weil für q — 1 die Reihe für TT nicht mehr convergirt; 
man müsste also im Falle <9^ > ~ eine andere Form der 
Lösung 0 benutzen. Die obigen Reihen nach Potenzen von 
z wären wohl brauchbar für eine den Aequator umfassende 
Zone, aber nicht für eine Calotte, weil sie in den Polen 
(z = + 1) divergiren*). 
Endlich gelangen wir, indem wir ff x = it werden lassen 
und jetzt statt der früheren Grenzbedingungen nur Eindeu 
tigkeit, Endlichkeit und Stetigkeit der Lösungen von (31) for 
dern, zum Falle der vollen Kugelfläche, welcher mathematisch 
das grösste Interesse bietet. — In W. Thowsoris schon er 
wähntem Appendix B, sowie in Ilayleighs „Theorie des Schalles“ 
(II, p. 329 ff.) wird gezeigt, dass die auf voriger Seite an 
geführte Reihe nach Potenzen von z in den Polen, d. h. für 
[ 
*) Ueber die verschiedenen möglichen Reihendarstellungen der 
Kugelfunctionen vergl. B. Olbricht, Studien über die Kugel- und Cylinder- 
functionen, Leipziger Dissertation 1887, worin auch der Verlauf der 
gewöhnlichen Kugel- und Bessel’schen Functionen erster und zweiter 
Art im Reellen anschaulich discutirt wird. — Im Uebrigen findet sich 
die ausführlichste Darstellung der Theorie der Kugelfunctionen selbst 
verständlich in Heine’s „Handbuch der Kugelfunctionen“, 2. Aufl., 
Berlin, 1878.