Full text: Über die partielle Differentialgleichung [delta] u + k 2 u = 0 und deren Auftreten in der mathematischen Physik

Von den ausgezeichneten Lösungen. § 7. 
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und besitzt die kleinste Wurzel kr = 0,663 ... n, welcher 
Werth überhaupt dem tiefsten aller Eigentöne entspricht, 
welche die kugelförmige Luftmasse geben kann. Es sei noch 
bemerkt, dass die radialen Schwingungen mit den oben be 
stimmten Werthen von Ti auch jedem, durch eine ganz beliebige 
Kegelfläche ausgeschnittenen Kugelsector zukommen. 
Weitere numerische Angaben über die ausgezeichneten 
Werthe k finden sich bei RayleigJi 1. c. p. 306, 307; man sieht 
daraus unter Anderem, wie sehr die Werthe von k, also die 
Tonhöhen, durch das Auftreten kugelförmiger Knotenflächen 
vergrössert werden. 
Die Reihenentwickelung einer willkürlichen Function von 
r, fl, cp nach den Normalfunctionen (35), deren Möglichkeit 
wir in der mehrfach erwähnten Weise schliessen, und welche 
als speciellen Fall die Entwickelung einer willkürlichen 
Function von r in die bei constantem m nach den Wurzeln 
ki der transcendenten Gleichung (36) fortschreitende Reihe 
4 >v 
für das Intervall 0 < r < r in sich schliesst, scheint noch 
nicht mathematisch untersucht worden zu sein. Sie ist in 
der Theorie der Differentialgleichung Au -f- k 2 u — 0 mit 
fest gegebenem k 2 das Analogon zur Entwickelung nach steigen 
den Kugelfunctionen in der Potentialtheorie, worauf wir im 
III. Theile noch zurückkommen werden. Reicht das Intervall 
von r nicht bis an den Nullpunkt heran, so kommt eine die 
(kr) 
Functionen “uz“ enthaltende Reihe hinzu, welche der 
Ykr 
Entwickelung nach fallenden räumlichen Kugelfunctionen 
entspricht. 
Die Integraleigenschaft der Bessel’schen Functionen von 
der Ordnung m -j- \, welche aus der Orthogonalität der 
Normalfunctionen (35) folgt: 
r 
j J m+i (?c,r)J m+i (hr) ^ = 0, 
0 
Pockels, Differentialgleichung. 8
	        
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