Von den ausgezeichneten Lösungen. § 7.
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und besitzt die kleinste Wurzel kr = 0,663 ... n, welcher
Werth überhaupt dem tiefsten aller Eigentöne entspricht,
welche die kugelförmige Luftmasse geben kann. Es sei noch
bemerkt, dass die radialen Schwingungen mit den oben be
stimmten Werthen von Ti auch jedem, durch eine ganz beliebige
Kegelfläche ausgeschnittenen Kugelsector zukommen.
Weitere numerische Angaben über die ausgezeichneten
Werthe k finden sich bei RayleigJi 1. c. p. 306, 307; man sieht
daraus unter Anderem, wie sehr die Werthe von k, also die
Tonhöhen, durch das Auftreten kugelförmiger Knotenflächen
vergrössert werden.
Die Reihenentwickelung einer willkürlichen Function von
r, fl, cp nach den Normalfunctionen (35), deren Möglichkeit
wir in der mehrfach erwähnten Weise schliessen, und welche
als speciellen Fall die Entwickelung einer willkürlichen
Function von r in die bei constantem m nach den Wurzeln
ki der transcendenten Gleichung (36) fortschreitende Reihe
4 >v
für das Intervall 0 < r < r in sich schliesst, scheint noch
nicht mathematisch untersucht worden zu sein. Sie ist in
der Theorie der Differentialgleichung Au -f- k 2 u — 0 mit
fest gegebenem k 2 das Analogon zur Entwickelung nach steigen
den Kugelfunctionen in der Potentialtheorie, worauf wir im
III. Theile noch zurückkommen werden. Reicht das Intervall
von r nicht bis an den Nullpunkt heran, so kommt eine die
(kr)
Functionen “uz“ enthaltende Reihe hinzu, welche der
Ykr
Entwickelung nach fallenden räumlichen Kugelfunctionen
entspricht.
Die Integraleigenschaft der Bessel’schen Functionen von
der Ordnung m -j- \, welche aus der Orthogonalität der
Normalfunctionen (35) folgt:
r
j J m+i (?c,r)J m+i (hr) ^ = 0,
0
Pockels, Differentialgleichung. 8