Yon den ausgezeichneten Lösungen. § 8.
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len Func-
er Form,
(hier 36),
scliliessen
sr an, so
a
erthe be-
t, wie die
e Lösung
t anderer-
jse physi-
probleme,
tionen im
transcen-
iten Para-
L, welche
Lschnitten
die bisher
Bereiche.
» für Ge-
integriren,
elliptische
Koordinate
ler Ebene
dratischen
lalsy stems
gemeinsame lineare Excentricität ist; wird die zwischen 0
und e 2 liegende Wurzel mit v 2 , die zwischen e 2 und -f- oo
liegende mit p 2 bezeichnet, so ist p die halbe grosse Axe
der Ellipse, v die halbe reelle Axe der Hyperbel, welche
durch den Punkt x, y hindurchgeht. Um aber der trans-
formirten Differentialgleichung eine möglichst einfache Gestalt
zu geben, wählt man als unabhängige Variabele nicht die
elliptischen Coordinaten selbst, sondern die durch die Sub
stitutionen
v = e cos |, p — e cos irj = e (£of rj
definirten Grössen | und rj. Damit jedem Punkte x, y nur
ein Werthepaar |, rj entspricht, kann man rj auf das Intervall
von 0 bis -f- oo, £ auf dasjenige von 0 bis 2jt beschränken,
indem man sich die EH-Ebene längs der Yerbindungslinie der
Brennpunkte aufgeschnitten denkt, rj — Const. giebt dann
eine ganze Ellipse, während £ constant gesetzt nur einen halben
Hyperbelast darstellt (die ganze Hyperbel ist gegeben durch die
vier Wertlie + £, ft + £ bedeutet den Neigungswinkel
der Asymptoten gegen die reelle Axe). In £, rj ausgedrückt
wird nämlich
x = e (Sof rj cos £ = e cos irj cos £,
y = e ©in rj sin £ — e i sin irj sin £,
x + iy — e cos (| -j- irj).
Letztere Gleichung zeigt, dass die Fläche der Ellipse oder
überhaupt ein von je zwei confocalen Ellipsen und Hyperbeln
begrenztes Flächenstück in der XF-Ebene durch/die an
gegebene Substitution auf ein Rechteck in der EH-Ebene
conform abgebildet wird; daher geht gemäss den Entwicke
lungen in § 4, c des I. Theiles die Differentialgleichung
Au -f- k 2 u — 0 über in
~ -f“ -f- k 2 e 2 sin (£ -j- irj) sin (£ — irj)u — 0 oder
(37) -{- k 2 e 2 (cos 2 irj — cos 2 £)w = 0 oder
gp + fp + P W n - cos 2 £)m = 0,
wo k' = k .e gesetzt ist.
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