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Von den ausgezeichneten Lösungen. § 8. 137 
Setzt man in der Gleichung (43) u = X(x) • Y(y), so 
kann man dieselbe in zwei gewöhnliche Differentialgleichungen 
zerspalten, welche gerade die von Sturm betrachtete Form 
(23) haben. Um aber die Sätze Sturmis anwenden zu können, 
muss der Factor von lc 2 wenigstens in einer der beiden 
Differentialgleichungen, z. B. in der für X, für das ganze 
Intervall der unabhängigen Variabein positiv sein. Dies kann 
man nun dadurch erreichen, dass man, wenn ä t (x) der grösste 
negative Werth von a { (x) ist, eine Constante a, welche 
> — ä t (x) t sonst aber beliebig ist, zu a x ix) additiv und zu 
a 2 {y) subtractiv hinzufügt. Man erhält dann 
(43') 
35 («n {*) + (* ! («i + «') - a)X = 0, 
~(« 24 f)+ (**(«»-.«')+ «)r = o, 
worin a eine zunächst willkürliche Constante bezeichnet. Auf 
diese Gleichungen kann man nun, um das Oscillationstheorem 
für die Normalfunctionen XY zu beweisen, diejenige Schluss 
weise anwenden, welche ich im Anfang dieses Paragraphen 
bei den Differentialgleichungen der „Functionen des ellipti 
schen Cylinders“ durchgeführt habe; dabei muss nur die 
Voraussetzung gemacht werden, dass im ganzen Gebiete 
«i(ic) -f- a 2 (y) i> 0 ist. Denn man sieht leicht, dass für die 
genannte Schluss weise nur wesentlich ist, dass die eine der 
beiden Curven C%, C v von einem tieferen Punkte der a-Axe 
(Ordinatenaxe) ausgeht, für sehr grosse Werthe von k 2 
grössere Ordinaten hat und in allen Punkten stärker an 
steigt, als die andere, welche Bedingungen offenbar bei den 
Gleichungen (43') unter der Voraussetzung, dass a^x) -f- a 2 (y) 
keine negativen Werthe annimmt, erfüllt sind.* Die letztere 
Voraussetzung ihrerseits ist bei allen physikalischen Pro 
blemen, bei denen unsere partielle Differentialgleichung auf- 
tritt, in Folge der Bedeutung des Factors von k 2 u erfüllt; 
mathematisch lässt sie sich so formuliren: der (algebraisch) 
kleinste Werth, welchen a x (x) in dem gegebenen Intervalle 
x 2 < % < x x annimmt, vermehrt um den kleinsten Werth von 
ci 2 (y) in dem für y vorgeschriebenen Intervalle, muss noch