142 Ueber die Gleichung: Au -f- Du — 0. 
Aus dem soeben Gesagten ist ersichtlich, dass man aus 
den der Grenzbedingung ü — 6 oder ^ = 0 genügenden 
Normalfunctionen des ursprünglichen Bereiches diejenigen 
des Theilbereiches nicht nur für die Grenzbedingung ü — 0 
oder = 0 längs der ganzen Begrenzung, sondern auch 
für gemischte Grenzbedingungen, d. h. z. B. ü = 0 längs der 
mit dem ursprünglichen Bereiche gemeinsamen, | ~ = 0 
längs der neuen Begrenzungstheile, ableiten kann. Um daher 
umgekehrt aus den Normalfunctionen eines gegebenen Bereiches 
die sämmtlichen Normalfunctionen eines grösseren, durch 
symmetrische Wiederholung des ersteren erhaltenen Bereiches 
ableiten zu können, müsste man nicht nur die sämmtlichen 
Normalfunctionen des ersteren für eine der Bedingungen 
ü — 0 oder ~ = 0 längs der ganzen Begrenzung, sondern 
auch diejenigen für gemischte Grenzbedingungen kennen; 
andernfalls wird man nur specielle Normalfunctionen des zu- 
sammeDgesetzten Bereiches finden können. 
Es ist nun weiter festzustellen, welches die in dem Satze 
S. 140 angedeutete Beschränkung ist, d. h. für welche von den 
jenigen Bereichen, die durch symmetrische Wiederholung die 
unendliche Ebene oder den unendlichen Raum oder die volle 
Kugelfläche einfach und lückenlos überdecken, überhaupt die 
Normalfunctionen aus bisher bekannten ausgezeichneten 
Lösungen von Au -j- k 2 u — 0 abgeleitet werden können. 
Die ausgezeichneten Lösungen für die unendliche Ebene und 
den unendlichen Baum können defmirt werden als überall, 
auch im Unendlichen, eindeutige, endliche und stetige Lösungen. 
Unter diesen sind nun, da der Bedingung ü = 0 oder ^ = 0 
auf einem Systeme sich periodisch wiederholender geradliniger 
Begrenzungen genügt werden soll, die in Bezug auf die recht 
winkligen Coordinaten x und y periodischen zu benutzen, also 
trigonometrische Functionen linearer Aggregate von x und y. 
Dass man nur periodische Lösungen gebrauchen kann, folgt 
daraus, dass man andernfalls für den zu betrachtenden Theil-