Von den ausgezeichneten Lösungen. § 9.
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se Fälle die
ten trigono-
edern, deren
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Querschnitt),
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irüber finden
angebracht,
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le P, P', P"
parallel zu
Dreieck ein-
Radius des
P" für alle
d — 2r, und
ngen P — r,
t die Relation
s rechtwink-
?' — P" —0
i die Winkel
y sin a,
mctionen des
>nen linearer
Aggregate von x, y sind, so müssen sie auch solche von
P, P', P" sein, also von der Form
(44) cos (IP + mP' + nP" + P);
wo l, m, n, p Constanten sind. Soll der vorstehende Aus
druck der partiellen Differentialgleichung Au k 2 u — 0
genügen, so muss, wie man mit Rücksicht auf die obigen
Formeln für P, P', P" sofort findet,
1¿ 2 = l 2 -j- m 2 -J- n2 + cos («' — a") -f- 2nl cos (a" — a)
-{- 2lm cos (a — a')
sein, oder, da a' — u" — a" — a — a — a — — ^ ist,
]¿ 2 = l 2 -j- m 2 -f- n 2 — mn — ln — ml.
In dem Argumente des cos. in (44) kann man die drei Zahlen
l, m, n beliebig mit einander vertauschen und ausserdem p
willkürlich, (z. B. = 0 und y), wählen, ohne dass sich der
Werth von k 2 ändert; demnach gehören zu einem und dem
selben k 2 zunächst zwölf verschiedene trigonometrische Aus
drücke von der Form (44).
Soll nun längs der drei Seiten, d. h. für P = r, P' — r,
P" — r, die Bedingung ü — 0 erfüllt sein, so müssen, wie
Lame gefunden hat (er theilt nur die Verification mit),
l, m, n bezw. gleich “ 71 A, ^v sein, wobei A, a, v
irgend drei der Bedingung
A -f- y + v — 0
genügende ganze Zahlen sind; ferner können die zwölf Aus
drücke von der Form (44) nur in zwei verschiedenen Ver-
biudungen zu je 6 auftreten. Diese zwei Ausdrücke können,
wie ja immer die Normalfunctionen im Falle eines zweifachen
ausgezeichneten Werthes, auf unendlich mannigfaltige Weise
ausgewählt werden; Lame bestimmt sie so, dass sie bequem
zur Herstellung der ausgezeichneten Lösungen für das halbe
gleichseitige Dreieck (also das rechtwinklige Dreieck mit
