Von den ausgezeichneten Lösungen. § 9. 
157 
noch keine besonderen Untersuchungen vorhanden, weshalb 
wir uns auf die Angabe derjenigen Normalfunctionen be 
schränken wollen, welche bei der Grenzbedingung ü — 0 im 
Innern jener Dreiecke nirgends verschwinden, also den Grund 
tönen von Luftschichten mit offenem Rande von der Gestalt 
jener Dreiecke entsprechen. Diese Normalfunctionen sind 
Kugelflächenfunctionen bezw. vom 6 ten , 9 teu , 15 ten Grade, welche 
auf 6, 9, 15 grössten Kreisen, die bezw. in den Symmetrie 
ebenen des Tetraëders, Octaëders und Ikosaëders liegen, 
verschwinden. Man erhält dieselben (abgesehen von con- 
stanten Factoren), indem man in nachstehenden Ausdrücken 
die rechtwinkligen Coordinaten x, y, z der Bedingung 
x 2 -f- y 2 -f- z 2 = Const. unterwirft: 
I. (x 2 — y 2 ) (y 2 — Z 2 ) (z 2 — x 2 ), 
II. xyz(x 2 — y 2 )(y 2 — £ 2 )£ 2 — & 2 ), 
n =4 
in -*) 17 ( x sin + y cos 2 F) 
n — 0 
(a 2« . 2nn . 2 nn\ 
• yJz COS -g- —(- X COS — y Sin ——J 
. fct „ ® 2«tt . . 2nn\ 
[2z cos X cos — 1- y Sin —g—J- 
Denn einerseits sieht man sofort, dass diese Ausdrücke bezw. 
auf den Symmetrieebenen eines Tetraëders, Oktaëders und 
Ikosaëders verschwinden und sonst nirgends, andererseits 
lässt sich leicht durch folgende Betrachtung (K)**), die 
wir nur für das Ikosaëder ausführen, zeigen, dass sie 
räumliche Kugelfunctionen sind. Bekanntlich***) sind bei 
den Ikosaëderdrehungen ausser x 2 y 2 z 2 nur je eine 
ganze rationale Function 6 teu Grades (B), 10 ten Grades (C) 
*) Vergl. z. B. JE. Goursat: Étude des surfaces qui admettent 
tous les plans de symétrie d’un polyèdre régulier. Ann. de l’École 
Normale supérieure (3) IV; 1887, p. 14. 
**) Angedeutet schon in einer Anmerkung zu dem Aufsatze über 
Lamé’sche Functiqpen, Math. Ann. 18, p. 239. 
***)' F. Klein, Vorlesungen über das Ikosaëder, Leipzig 1884. p.219.