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Ueber die Gleichung: Au -f- = 0. 
und 15 ten Grades (JD, bis auf einen Factor übereinstimmend 
mit III) invariant. Aus diesen Functionen ist nun der 
zweite Differentialparameter von D oder vom Ausdrucke (III), 
weil er vom 13 ten Grade ist, nicht zusammensetzbar; da 
derselbe aber dennoch, wie D selbst, bei den Ikosaeder 
drehungen invariant sein muss, so ist er nothwendig = 0. 
Folglich ist (III) eine räumliche Kugelfunction. Durch eine 
entsprechende Schlussweise würde dies nun auch für die 
Functionen (II) und (I) zu beweisen sein. — Für die aus 
den letzteren durch Einführung der Relation x*if$ =\ 
abgeleiteten Kugelflächenfunctionen finde ich durch eine ein 
fache Rechnung folgende Ausdrücke: 
(!') Po,2(cos«-)cos 2<p— i Pe,s(cos8-)cos6<p für (f , tt, j) , 
1 
n n n 
2 ’ 3 ’ 4/ ’ 
wobei cp von einer dem gewählten Tetraeder nicht zukom 
menden Symmetrieebene des Octaeders an gerechnet und 
P n>m die bekanntermassen durch nachstehende Summe defi 
nirte „zugeordnete Kugelfunction“ ist: 
P n ,m(COS ff) = sin m ff [ (cOSff) w—m 
I n—m—2 
2.4.(2«-l)(2n-3) ^ C ° S I 
Die entsprechenden Werthe von 7c 2 sind nach § 7b, wenn 
der Radius der Kugel = 1 ist, 6.7 — 42 und 9.10 = 90 ; 
ist der Radius = r, so tritt der Factor hinzu. 
Anmerkung 1. Hiermit sind die Bereiche, welche zu 
der im Anfang des letzten Paragraphen definirten Classe 
gehören, erschöpft, und damit überhaupt alle Fälle, in wel 
chen man die Normalfunctionen bisher aufgefunden hat, wenn 
man von einem Versuche Mathieu's absieht, die letzteren für