Von den ausgezeichneten Lösungen. § 9. 
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nstimmend 
nun der 
nicke (III), 
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Ikosaëder- 
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t—4 
ebene Bereiche zu bestimmen, die von zwei excentrischen 
Kreisen oder von zwei confocalen Cassini’sehen Curven begrenzt 
werden*). Mathieu führt auch zur Behandlung dieser Pro 
bleme diejenigen krummlinigen Coordinaten ein, welche die 
conforme Abbildung der genannten Bereiche auf ein Rechtech 
vermitteln, und von welchen also die eine auf den Begren- 
zungscurven constant ist; dann lässt sich aber die transfor- 
mirte partielle Differentialgleichung Au -f- Wu — 0 nicht 
durch Producte aus Functionen von je einer Variabein inte- 
griren, wie aus dem am Schlüsse des § 8 Gesagten hervor 
geht**). Mathieu setzt nun für die Normalfunctionen u Reihen 
an, welche nach Potenzen der einen, auf den Begrenzungs- 
curven constanten Variabein fortschreiten, und entwickelt 
auch den Factor von №u in eine solche Potenzreihe; für die 
Coefficienten in dieser Reihe, welche Functionen der anderen 
Variabein allein sind, ergiebt sich dann ein System gewöhn 
licher linearer Differentialgleichungen zweiter Ordnung, durch 
welche diese Functionen alle auf eine von ihnen zurückgeführt 
werden. Die Bestimmung der letzteren führt Mathieu da 
durch aus, dass er von der bekannten Lösung für einen 
Kreisring ausgehend eine nach Potenzen des Abstandes der 
Kreismittelpunkte fortschreitende Reihe binzufügt. Die Con 
stanten werden so bestimmt, dass die erwähnten Functionen, 
weil es sich um Ringgebiete handelt, periodisch sind, und 
dass die Grenzbedingung (ü = 0 oder auch die allgemeine 
j 7b, wenn 
. 10 = 90 ; 
, welche zu 
rten Classe 
Ile, in wel- 
n hat, wenn 
etzteren für 
*) Mathieu: Memoire sur le mouvement de la température dans 
le corps renfermé entre deux cylindres circulaires excentriques et dans 
des cylindres lemniscatiques. Liouville’s Journal (2) XIV. p. 65—103,1869. 
**) Hiermit ist noch nicht die Möglichkeit ausgeschlossen, dass 
die Nulllinien der Normalfunctionen solche Curven sind, auf denen 
eine der erwähnten Variabein constant ist; denn die Normalfunctionen 
könnten ja nach Abtrennung einer Function beider Coordinaten, welche 
im Gebiete nicht verschwindet, in Producte aus zwei von nur je einer 
Coordinate abhängigen Factoren übergehen. Nach einer Abhandlung 
Wangerin’s (Berliner Monatsberichte 1878, p. 152—166) über die Inte 
gration der Potentialgleichung für Rotationskörper, deren Meridian 
schnitte cyklische Curven sind, scheint das in der That der Fall sein zu 
müssen, während Mathieu das Gegentheil behauptet.