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Ueber die Gleichung: Au -f- 7c 2 u — 0. 
C. Mathematische Begründung der allgemeinen Theorie der 
ausgezeichneten Lösungen. 
§ 10. Berechnung des kleinsten ausgezeichneten Werthes 
7c 2 hei der Grenzbedingung u — 0 für beliebige ebene 
Bereiche nach H. A. Schwarz. 
Im Vorhergehenden haben wir gesehen, dass die Auffindung 
der sämmtlichen ausgezeichneten Lösungen von Au-\-lc 2 u = 0 
nur für eine Anzahl specieller ebener, räumlicher und sphärischer 
Bereiche bisher gelungen ist. Dagegen hat nun H. A. Schwarz 
im zweiten Tlieile seiner Abhandlung „über ein die Flächen 
kleinsten Flächeninhaltes betreffendes Problem der Variations 
rechnung “*) ein Verfahren angegeben, welches gestattet, für 
einen beliebigen ebenen Bereich bei der Grenzbedingung ü = 0 die 
jenige ausgezeichnete Lösung der partiellen Differentialgleichung 
(47) Am + Nfu = 0, 
welche innerhalb des Bereiches nirgends verschwindet, also dem 
Icleinsten ausgezeichneten Werthe b 2 entspricht, zu finden, oder 
doch ihre Existenz sicher zu stellen. In der Differentialglei 
chung (47) bezeichnet f eine beliebige Function von x, y, welche 
nur der Bedingung unterworfen ist, im ganzen gegebenen 
Bereiche positiv zu sein; daher liefert das Schwarz’sehe Ver 
fahren auch den kleinsten ausgezeichneten Werth 7c 2 und die 
entsprechende Lösung der in krummlinige Coordinaten trans- 
formirten Differentialgleichung Au -f- 1c 2 u = 0 (also die erste 
Normalfunction gemäss der Anmerkung S. 101) für irgend 
welche Bereiche auf brummen Flächen. In der That handelte 
es sich bei der speciellen Differentialgleichung: 
d 2 u , d 2 u , 8 
dx 2 ' 8y 2 ' (1 + x 2 -j- y 2 ) 2 U 7 
durch welche Schwarz auf die in Rede stehende allgemeine 
Untersuchung geführt wurde, um einen Fall der letzteren Art, 
*) Festschrift zum Jubelgeburtstage des Herrn Weierstrass, Acta 
soc. scient. Fennicae, T. XY. Helsingfors 1885. Gesammelte math. Ab 
handlungen, Berlin 1890, 1. Bd. p. 241 — 262.