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Ueber die Gleichung: Am -j- k 2 u — 0. 
geliefert, wenn G die Green’sche Function des Bereiches be 
zeichnet, d. h. eine Lösung der partiellen Differentialgleichung 
Au — 0, welche an der Stelle x — y — r\ logarithmisch 
unendlich gross (wie — log [(x — |) 2 -{- (y — ?j) 2 ]) wird, sonst 
im ganzen Gebiete endlich und stetig ist und längs der Be 
grenzung verschwindet. — Mittelst der Formel (48) kann 
man nun eine unendliche Reihe von Functionen w x , w 2 , 
. . . w n hersteilen, welche den Differentialgleichungen 
Aw t + pw 0 = 0, Aw 2 + pw x = 0, . .. 
^ ^ Aw n + pw n -1 = 0 ... 
genügen und am Rande sämmtlich verschwinden. Für w 0 
wird eine durch ihre Randwerthe bestimmte Lösung der 
Potentialgleichung Aw 0 = 0 gesetzt, und zwar werden die 
Randwerthe für den jetzigen Zweck speciell constant = -J- 1 
gewählt, was bekanntlich zur Folge hat, dass w 0 selbst im 
ganzen Gebiete den constanten Werth -f- 1 besitzt. Die 
Functionen w 0 , w 1 , i .. w n ... sind dann alle im ganzen 
Gebiete positiv, wie aus der Formel (48) mit Rücksicht auf 
die Eigenschaften von G folgt. 
Nun bildet Schwarz die über den ganzen Bereich er 
streckten Integrale 
(50) Wo== JfP w o d ^ d7 i = fJp d ^ d V, W x = J'J'pw l d^dr), 
W 2 = Jfpw 2 dt > d'rj, ... W n = JJpw n d^drj ... 
und beweist, dass die Quotienten 
/ K -<\ W W 2 
(51) c x -pjr } c 2 w x ’ ''' 
Cn = 
W„ 
eine unendliche Reihe beständig zunehmender (nur von dem 
gegebenen Bereiche und der Function p abhängender) Con 
stanten bilden, welche sich einer bestimmten endlichen oberen 
Grenze c = lim c n nähern. Werden die Functionen tt^, tü 2 ... 
tt>rc ... durch die Relation 
(52) ==> c~ n w n 
definirt, so genügt der Differentialgleichung