Von den ausgezeichneten Lösungen. § 11.
167
hnung des
ugehörigen
allgemeine
ahin fehlte
. Lösungen
diche Her-
srfahren in
mständlich
Reihe von
le gegeben
vr über den
xdy
itige, längs
'•on x, y ist,
bestimmte
I, § 4 S. 60
bezeichnete
= Ä" = 1
ms zur Be-
che Bereiche
die Grund-
Green’sehen
Bestimmung
malytischen
mete Lösung“
usgezeichnete
Flächen umschlossenen räumlichen Bereich aus ihren Ober-
flächenwerthen und damit insbesondere diejenige der Green-
schen Function G kann gegenwärtig als erledigt gelten (vgl.
den Excurs über Potentialtheorie im IV. Theile). Die Ent
wickelungen und Convergenzbeweise von H. A. Schivars
Avürden für den Fall von drei Dimensionen unverändert
bleiben. —
§ 11. Abhängigkeit der ausgezeichneten Werthe Je 2 von
den Dimensionen und von der Gestalt des Bereiches;
Abschätzung ihrer Grösse.
Wir werden uns in diesem Paragraphen noch mit einigen
Betrachtungen über die ausgezeichneten Werthe h 2 zu be
schäftigen haben, welche auch in solchen allgemeinen Fällen
anwendbar sind, wo man die ausgezeichneten Lösungen selbst
nicht kennt.
Wenn es sich um die Differentialgleichung
V 2 U . C 2 U
dx 2 ' dy*
+
d 2 u
dz 2
-j- Z; 2 « = 0
handelt, so lässt sich aus ihrer Form selbst, welche offenbar
unverändert bleibt, wenn man x, y, z mit einem constanten
Factor C multiplicirt und h durch denselben Factor dividirt,
der Satz erschliessen:
Für zwei Bereiche, welche geometrisch ähnlich sind, ver
halten sich bei derselben Grenzbedingung (ü = 0 oder = 0)
die corresponairenden ausgezeichneten Werthe Je umgekehrt wie
die linedren Dimensionen.
Beispiele für diesen Satz findet man unter den besprochenen
lösbaren Fällen in Menge; es sei nur an den Kreis erinnert, wo
das Product kr als Argument der Bessel’schen Functionen auf
trat, also die aus der Grenzbedingung folgenden Werthe k dem
Radius r umgekehrt proportional waren. Soll der Satz für die
allgemeine Grenzbedingung hü -j- ^ = 0 gültig bleiben, so
muss man h in demselben Verhältniss verkleinern, in welchem
man die linearen Dimensionen vergrössert; und hätte k 2 u in
