Von den ausgezeichneten Lösungen. §11. 
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jeder Stelle die Dimension des Bereiches in einer Richtung 
sehr klein ist-, es ist dazu nicht erforderlich, dass alle Dimen 
sionen sehr klein sind. Daher kann man auch aus der An 
zahl der Theile, in welche eine Membran durch die Knoten 
linien getheilt wird, durchaus nicht auf die Höhe des Tones 
schliessen. 
Mit der Berechnung oberer Grenzen für die ausgezeich 
neten Werthe irgend eines gegebenen Bereiches bei der Grenz 
bedingung hu -f- = 0 (mit constantem h) hat sich Rom 
earé in seiner schon mehrfach genannten Abhandlung: „Sül 
les équations aux dérivées partielles de la physique mathé- 
matique“*) beschäftigt. Die von ihm angegebenen Methoden 
beruhen auf der Eigenschaft der ausgezeichneten Werthe 7c 2 
als Minima des Quotienten der Integrale 
v= fj Kfe) + ©} df + h j uHs ’ * = J./ 
oder, wenn der Bereich ein räumlicher ist, der analogen 
Raum- bezw. Oberflächenintegrale. (Ueber diese Bedeutung 
der Grössen h 2 als Minima von — vgl. die Entwickelungen 
in § 4 dieses Theiles, S. 60.) 
Da 7c. 2 das absolute Minimum von — ist, so erhält man 
einen Werth, der jedenfalls nicht Meiner als k 2 ist, wenn man 
den Ausdruck für eine ganz beliebig gewählte Function 
u berechnet. So kann man z. B. darin u — Const. setzen, 
wodurch man, wenn S die Länge der Peripherie bezw. die 
Grösse der Oberfläche, J den Flächen- bezw. Rauminhalt 
des Gebietes bezeichnet, findet: 
Eine grössere Annäherung, d. h. eine kleinere obere 
Grenze, erhält man schon, wenn man für u eine lineare 
Function ax -f- 1 einsetzt und die Constante a so bestimmt, 
*) Amer. Journ. of Math. XII. No. 3. 1889.