Von den ausgezeichneten Lösungen. §11. 
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Differentialgleichung Am-)- k 2 u=0, u ist — a 1 F 1 -j \- cc n F n 
und die Integrale sind über den ganzen gegebenen ebenen 
oder räumlichen Bereich, dessen Element dt sei, zu er 
strecken. In Folge jener n — 1 Relationen zwischen den 
a 1 ... a n ergiebt sich nun, da dieselben ja in u nur noch 
einen gemeinsamen Factor verfügbar lassen, ein ganz bestimmter 
Werth A' n für welcher nach dem Vorhergehenden X n ist. 
Andererseits folgt aber aus der Eigenschaft von k 2 , das 
Minimum von ^ bei den Nebenbedingungen 
J uu 1 dt= J uu 2 dt = ... —J uu n —idt = 0 
zu sein, dass X n ' k 2 ist; folglich ist um so mehr 
K k n 2 . 
Indem man also cp und für die willkürliche Function 
u = cc l F 1 -f- • • • -f- cc n F n 
berechnet und die grösste Wurzel der Gleichung w ton Grades 
cp — | = 0 bestimmt, findet man einen Werth, der eine 
obere Grenze für k 2 ist. 
Ist ein Theil der Normalfunctionen u\...u n -x bekannt, so 
lässt sich die Rechnung bedeutend vereinfachen. Kennt man 
insbesondere alle Functionen u\. .. u n —x, so kann man die 
oben mit X’ n bezeichnete Grösse, welche ihrerseits schon 
eine obere Grenze für k 2 ist, wirklich bestimmen; man hat 
dazu nur die Verhältnisse a t : a 2 : . . . : cc n aus den n — 1 in 
a x . . . a n linearen Gleichungen 
zu berechnen, in u — a 1 F 1 -j- • • • -f- a n F n einzusetzeu und 
den Quotienten zu bilden. Dabei kann man über F x ... 
F n noch ganz willkürlich verfügen. Eine einfache Annahme 
ist z. B. 
F x — 1 u x , F<2 — u% ... F n —i — u n —i, 
während F n willkürlich gelassen wird; es ergiebt sich dann 
zufolge der Integraleigenschaften der Normalfunctionen: