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j F n u,,dx, . . . 
und die Function, für welche man = l' n zu berechnen 
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hat, ist 
F n — u y J F n u l dx — u 2 J*F n u 2 dx ... — u H —i j F n u n —\dx. 
(Es ist für dieses Resultat natürlich gleichgültig, in welcher 
Reihenfolge man n—1 der Functionen F den Normalfunctionen 
u 1} ... u n —i gleichsetzt.) 
Zu bemerken ist noch, dass man im Falle der Grenz 
bedingung ü — 0 in dem Ausdrucke cp das Randintegral 
hJü 2 ds bezw. das Oberflächenintegral h JJü 2 do fortzulassen 
und dafür die Function u, mithin jede einzelne der willkür 
lichen Functionen F i ... F n , der Beschränkung zu unter 
werfen hat, dass sie an der ganzen Begrenzung des Bereiches 
den Werth 0 hat. 
In der Arbeit von Poincare findet sich auch ein Beweis 
für das unbegrenzte Wachsen von /c re 2 mit unendlich wachsen 
dem n, welches man vom physikalischen Standpunkte als 
selbstverständliche Folge des früher (S. 38, 39 und'55,56) auf 
gestellten Satzes ansehen wird, dass die ausgezeichneten 
Werthe b 2 stets eine unendliche Beihe discreter Werthe bilden, 
sofern der Bereich ganz im Endlichen liegt und keine Punkte 
enthält, in welchen die in der partiellen Differentialgleichung 
mit li 2 u multiplicirte Function unendlich gross wird. Der 
Beweis von Poincare, dessen Gang nachstehend wieder 
gegeben wird, bezieht sich nur auf die Differentialgleichung 
^ 'bi 
Au -{- h 2 u — 0 und auf die Grenzbedingung ^ = 0; letztere 
Annahme über die Grenzbedingung ist aber, wie wir unten 
sehen werden, keine Beschränkung. 
Poincare denkt sich den gegebenen Bereich T, dessen n 
erste Normalfunctionen u 1} u 2 ... u n seien, in (n — 1) Theil- 
bereiche T ± .. . T n —i zerlegt; die Normalfunctionen und aus 
gezeichneten Werthe h 2 für den p teu Theilbereich seien: