Yon den ausgezeichneten Lösungen. § 12. 
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dass h in h' abgeändert ist, übergegangen in u n ', k n ' 2 , wobei 
als selbstverständlich vorausgesetzt wird, dass diese Aende- 
rungen stetig stattfinden. Wendet man nun auf die Func 
tionen u n , u„', welche den Differentialgleichungen 
Au n -{- Jin 2 u a = 0, A u n -(- k n 2 u n 0 
genügen, den Greerischen Satz an, so erhält man auf be 
kannte Weise 
du n _ , 
dn Un 
wo das Integral auf der linken Seite über den ganzen (ebenen 
oder räumlichen) Bereich, das auf der rechten über dessen 
ganze Begrenzung zu bilden ist. Führt man die Grenz 
bedingung ein, so wird diese Gleichung: 
und wenn man nun h' unendlich wenig von h verschieden 
voraussetzt und dementsprechend h'—h-\-dh } ebenso k„ 2 
= k n = k 2 “j - d(kn“') == k n —dX n setzt: 
(53) 
dl. 
Aus dieser Beziehung folgt, dass ~~ stets >0 ist, dem- 
nach l n = k 2 mit wachsendem h beständig wächst, und um 
gekehrt. Nur wenn u n der Grenzbedingung ü n = 0 genügt, 
dl n 
also wenn h — oo ist, wird — 0. 
’ an 
Die Gleichung (53) gilt für jeden Index n, d. h. für 
jeden einzelnen ausgezeichneten Werth; auch für negatives h 
behält sie, da über h nichts vorausgesetzt worden ist, ihre 
Gültigkeit, sofern dafür noch ausgezeichnete Werthe k n 2 
existiren. Falls man sich auf positive Werthe von h be 
schränkt, ist also kn am kleinsten für h = 0. Für die aus 
gezeichneten Werthe Zc 2 = A in dem Falle, wo u n der allge 
meinen Differentialgleichung (13) S. 57 und der Grenzbedin 
gung (14) genügt, folgt durch Subtraction der für u n und 
u n + du n gebildeten Gleichungen (15') folgende Relation: 
P o c k e 1 s, Differentialgleichung. 12