Full text: Über die partielle Differentialgleichung [delta] u + k 2 u = 0 und deren Auftreten in der mathematischen Physik

Von den ausgezeichneten Lösungen. § 12. 
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durch das Curvensystem zu legen und erhält durch die 
Ordinaten der Schnittpunkte direct die gesuchten Werthe 
von h. Die besprochenen Beispiele lassen leicht die vermuth- 
lich allgemein gültige Regel erkennen, dass zu jedem ge 
gebenen h 2 unendlich viele Werthe h gehören, dass aber positive 
Werthe h nur für positive h 2 existiren und auch dann nur in 
endlicher Anzahl, sofern 7c 2 endlich ist. 
Insbesondere kann der gegebene Wertb 7c 2 = 0 sein; es 
handelt sich dann um die Auffindung derjenigen Grenzbedin 
gungen hü -J- = 0, für welche es Lösungen der Potential 
gleichung Au = 0 giebt, die in dem gegebenen Bereiche 
überall eindeutig, endlich und stetig sind, ohne identisch gleich 
Null zu sein. Dass überhaupt bei gewissen negativen Werthen 
von. h solche ausgezeichneten Lösungen der Potentialgleichung 
existiren, hat wohl zuerst Dini bemerkt bei der Behandlung 
des Problems, die Gleichung Au = 0 für die Fläche eines 
Kreises so zu integriren, dass hü -f- Щ längs der Peripherie 
r — r vorgeschriebene Werthe besitzt*). Diese ausgezeich 
neten Lösungen für den Kreis sind die Functionen: 
(-|r) (a m cos mg; -f- b m sin m<p) 
mit unbestimmten Coefficienten a m und b m . Denn die 
selben genügen offenbar der Gleichung Au — 0 und der Rand 
bedingung hü -f- ~ = 0, worin h — — y ist, und besitzen 
die gewöhnlichen Stetigkeitseigenschaften. — Bei unserer 
obigen Betrachtung über den Kreis fanden wir, dass die Ordi- 
natenaxe (A = 0) von den construirten Curven in den Punkten 
* = — у О = 0, 1, 2 • • • oo) 
geschnitten wurde; wir haben dort also eben jene von Dini 
aufgefundenen ausgezeichneten Werthe von h erhalten. 
*) Dini, Annali di Matematica, (2), V, 1873. Vergi, über die 
oben genannte Aufgabe übrigens den IV. Theil der vorliegenden Dar 
stellung. —
	        
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