Von den ausgezeichneten Lösungen. § 12.
185
durch das Curvensystem zu legen und erhält durch die
Ordinaten der Schnittpunkte direct die gesuchten Werthe
von h. Die besprochenen Beispiele lassen leicht die vermuth-
lich allgemein gültige Regel erkennen, dass zu jedem ge
gebenen h 2 unendlich viele Werthe h gehören, dass aber positive
Werthe h nur für positive h 2 existiren und auch dann nur in
endlicher Anzahl, sofern 7c 2 endlich ist.
Insbesondere kann der gegebene Wertb 7c 2 = 0 sein; es
handelt sich dann um die Auffindung derjenigen Grenzbedin
gungen hü -J- = 0, für welche es Lösungen der Potential
gleichung Au = 0 giebt, die in dem gegebenen Bereiche
überall eindeutig, endlich und stetig sind, ohne identisch gleich
Null zu sein. Dass überhaupt bei gewissen negativen Werthen
von. h solche ausgezeichneten Lösungen der Potentialgleichung
existiren, hat wohl zuerst Dini bemerkt bei der Behandlung
des Problems, die Gleichung Au = 0 für die Fläche eines
Kreises so zu integriren, dass hü -f- Щ längs der Peripherie
r — r vorgeschriebene Werthe besitzt*). Diese ausgezeich
neten Lösungen für den Kreis sind die Functionen:
(-|r) (a m cos mg; -f- b m sin m<p)
mit unbestimmten Coefficienten a m und b m . Denn die
selben genügen offenbar der Gleichung Au — 0 und der Rand
bedingung hü -f- ~ = 0, worin h — — y ist, und besitzen
die gewöhnlichen Stetigkeitseigenschaften. — Bei unserer
obigen Betrachtung über den Kreis fanden wir, dass die Ordi-
natenaxe (A = 0) von den construirten Curven in den Punkten
* = — у О = 0, 1, 2 • • • oo)
geschnitten wurde; wir haben dort also eben jene von Dini
aufgefundenen ausgezeichneten Werthe von h erhalten.
*) Dini, Annali di Matematica, (2), V, 1873. Vergi, über die
oben genannte Aufgabe übrigens den IV. Theil der vorliegenden Dar
stellung. —