Allgemeine Sätze über die Functionen u. § 1. 
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Die Singularitäten der nur von r abhängenden particulärcn 
Integrale von A u Je 2 u = 0 in der Ebene und im Raume 
sind daher bei r — 0 von derselben Art, wie die der entsprechen 
den Potentialfunctionen. Dagegen findet in dem Verhalten in 
unendlicher Entfernung vom Nullpunkte keine solche Ueber- 
einstimmung statt, wie im folgenden Paragraph näher aus 
geführt werden soll. 
Die gewöhnlichen Differentialgleichungen, welchen die nur 
von r abhängigen Functionen u genügen, besitzen noch die, 
falls h reell ist, in der ganzen Ebene bezw. im ganzen Raume 
nirgends unendlich gross werdenden Integrale 
J 0 {kr) bezw. — 
welche im Nullpunkte den Werth 1 haben und sich im Un 
endlichen ebenso verhalten, wie die zuerst besprochenen 
Integrale, nämlich daselbst von der -|- ten bezw. l ten Ordnung 
unendlich klein werden. — Die Differentialgleichung des Po 
tentials besitzt bekanntlich keine andere überall endliche und 
eindeutige Lösung, als u= Constund diese ist in der That 
das zweite Integral der gewöhnlichen Differentialgleichungen, 
welchen log r bezw. — genügen. Es besteht in diesem Punkte 
also zwischen der Differentialgleichung Au -f- h 2 u — 0 und 
der Potentialgleichung ein wesentlicher Unterschied, welcher 
übrigens mit der Existenz der ausgezeichneten Lösungen der 
ersteren auf’s Engste zusammenhängt; denn J 0 (kr) und 
sind gemäss unserer Definition als „ausgezeichnete Lösungen“ 
für die unendliche Ebene und den unendlichen Raum zu be 
trachten. 
Im Falle eines negativen Werthes von h 2 — — h' 2 können 
gemäss den Entwickelungen in II, § 4 (z. B. nach der geeignet 
specialisirten Formel (16)) für ein geschlossenes Gebiet, also 
wohl auch für die unendliche Ebene*), keine ausgezeich- 
*) Zunächst lässt sich uur scliliessen, dass für die unendliche 
Ebene keine überall endliche Lösung u, die längs irgend einer ge 
schlossenen Curve gleich Null wird, existiren kann. Allein durch die