Ueber die Gleichung: Au -f- k?u 
Dementsprechend besitzt die ge 
wöhnliche Differentialgleichung 
dHo ±du _ = q 
I r clr 
auch kein überall endliches Integral; Y 0 (k'ri) wird nämlich, 
im Nullpunkte unendlich gross wie log r, im Unendlichen 
wie (7cV) 2 e* v , und J 0 (k'ri) bleibt zwar für r = 0 endlich, 
verhält sich aber im Unendlichen ebenso wie Y 0 (k'ri). — 
Ebenso ist es mit den Particularlösungen im Raume; denn 
7 , U üu 7 , keine Lösung linear zusam- 
K r KT ° 
mensetzen, die weder für r — 0 noch für r — oo unendlich 
gross wird. — 
Was nun die Singularitäten höherer Ordnung*) betrifft, 
welche eine sonst überall stetige und eindeutige Lösung von 
Au -f- k 2 u = 0 in einzelnen Punkten besitzen kann, so sind 
dieselben, wenn der gerade betrachtete singuläre Punkt der 
Nullpunkt des Polarcoordinatensystems ist, gegeben durch 
(57) Y n (1cr) • cos (iup) für die Ebene, 
t (kr)• P m>n (cos ff) • ^ ncp für den Raum, 
wo n und m irgend welche positive ganze Zahlen' (wobei 
im zweiten Falle n<Cm) bezeichnen. Die BessePsche Function 
zweiter Art Y n (kr) verhält sich für sehr kleine Werthe von r, 
auf die es hier nur ankommt, wie (kr)~ n (vgl. die Darstellungen 
von Y n bei Lommel, Studien über die Bessel'schen Functionen, 
1868, §§ 23—25, speciell p. 90, u. G. Neumann, Theorie der Bessel- 
sehen Functionen, 1867, p. 52) und die durch die Reihe (30) 
S. 98, 99 defmirte Function (kr) 
(kr) wie (kr)~ 
in I, § 2, b (S. 19—20) erörterte physikalische Bedeutung der Differen 
tialgleichung Au -J- Tz 2 u — 0 erscheint auch die Unmöglichkeit von 
Lösungen, die in der ganzen Ebene endlich sind und das Vorzeichen 
nicht wechseln, sicher gestellt. 
*) Functionen u, welche unendlich viele oder wesentlich singuläre. 
Punkte besitzen, schliessen wir von der Betrachtung ein für alle Mal aus