Allgemeine Sätze über die Functionen u. § 1. 191 
Die Potentialfunctionen verhalten sich nun in singulären 
Punkten höherer Ordnung in der Ebene wie r~ n • C0S (ncp), im 
Raume wie r~ m ~ 1 ^(w<p); mithin stimmen, was den 
Grad des Unendlichgrosswerdens anbetrifft, die höheren Singu 
laritäten unserer Functionen u ebenfalls mit denjenigen des 
Potentials überein. Die Functionen, welche das Verhalten 
an den singulären Stellen darstellen, sind hier aber weit 
complicirter, als in der Potentialtheorie; so enthält z. B. Y n 
ausser dem mit r~ n proportionalen Gliede noch solche, welche 
für r — 0 unendlich gross werden wie r~ n ~~' 2 , r~ n ~‘ i etc. 
Sie lassen sich auch, wie Bayleigh 1. c. II, 283 bemerkt, nicht 
einfach durch wiederholte Differentiation nach irgendwelchen 
Richtungen aus Y 0 (Jcr) und cos J cr . ableiten, während man be 
kanntlich nach Maxwell*') die Potentiale mit einzelnen singu 
lären Punkten höherer Ordnung auf diese Weise aus log r 
und — erhält. Zwar genügen die aus Y 0 (kr) und —— durch 
Differentiation gewonnenen Functionen natürlich der partiellen 
Differentialgleichung Au -j- 7c 2 « = 0 und werden auch in der 
selben Weise unendlich gross, wie Y n (kr) • . (ncp) hezw. 
(kr) ^ J 1 (kr) • P n ,,n (&) • C ° S (n<p), aber sie stimmen mit 
letzteren Functionen nicht direct überein. Nur die Function 
2 
J (kr) . (lir) 1 2 P % n(P) (An sin ncp -f- B n cos ncp) 
2 0 
ist auf die angegebene unmittelbare Weise zu erhalten, da 
/ (9) .r* — ^) = h(Fl 5 ^) 
ist. Die besagte Nichtübereinstimmung hängt wohl damit 
zusammen, dass für die Functionen u kein analoger Satz 
gilt, wie der bei der Herleitung des erwähnten Maxwell- 
schen Resultates zu benutzende Satz von Thomson, welcher 
') Elektricität und Magnetismus, I, p. 191 —194.