192
Ueber die Gleichung: Au -f- l^u = 0.
das Verhalten von Potentialfunctionen bei der Transformation
durch reciproke Radien betrifft. (Vergl. über letzteren Punkt
den folgenden Paragraph.) — Es sei noch bemerkt, dass die
Singularitäten der eindeutigen Lösungen u, soweit sie durch
das Anfangsglied der Entwickelung dargestellt werden, die
selben bleiben, wenn in der Differentialgleichung das Glied
k 2 u noch mit einer analytischen Function f der Coordinaten
multiplicirt auftritt, weil man in der Umgebung des betrach
teten singulären Punktes bei der Entwickelung von u nach
den oben angegebenen Functionen die Function f als constant
betrachten kann. — Demnach sind also z. B., wie aus dem
zu Anfang von II, § 7, b Gesagten hervorgeht, für die Lö
sungen u auf der Kugelfläche die Singularitäten im Wesent
lichen die gleichen, wie für die Functionen u in der Ebene;
genauer werden sie durch die Kugelflächenfunctionen zweiter
Art, d. h. die im Pole ff = 0 unendlich gross werdenden,
in Bezug auf <p periodischen Integrale der Differentialglei
chung (31), welche zuerst von Heine untersucht worden sind,
dargestellt.
Eine wichtige physikalische Bedeutung hat besonders die
Singularität niedrigster Ordnung, welche durch Y 0 (kr) bezw.
c0 ^ r dargestellt wird. — Bei den Luftschwingungen ist
ein solcher singulärer Punkt eine einfache punktförmige
Schallquelle oder ein Erregungspunkt (v. Helmholtz, Crelle’s
Journal 57, p. 18. 1860), d. h. ein Punkt, in welchem ab
wechselnd mit gegebener Periode unendlich grosse Ver
dichtungen und Verdünnungen hervorgebracht werden; denn
u. cos ak(t— t') ist das Geschwindigkeitspotential <t> der
Luftschwingungen, und die Verdichtung ist = — fALTt
(unter a die Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Schalles ver
standen), also ebenfalls proportional mit u. In Wirklichkeit
wird nun eine solche „Schallquelle“, welche sich im unend
lichen Raume befindet, oder eine analoge in einer unendlichen
ebenen Luftplatte, kugel- bezw. kreisförmige, gleichförmig
fortschreitende Wellen aussenden, während die von uns be
trachtete Function u, da sie mit einem Zeitfactor cos ak(t—t')
