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Ueber die Gleichung: An -f- T?u — 0. 
unterscheidet. Ferner enthält W gemäss der obigeu Defi 
nition die Variabein x n +\ und x n + 2 nur in der Verbindung 
x n +t — %n+2, woraus folgt 
d 2 W d*W 
0X n-fl 
= o. 
Demnach genügt die jetzt betrachtete Form W der Diffe 
rentialgleichung 
d*W 
d*W • 
dx? 
c 2 W d e W 
' fix 2 fix 2 , 
0 X n ox n + 1 
0. 
Mit dieser Gleichung ist nun der eigentliche Charakter der 
Form W ausgesprochen; denn es lässt sich zeigen, dass dieselbe 
unverändert bleibt, wenn man W unter Benutzung der Kugel- 
n —|- 1 
gleichung X x 2 — x 2 _^_ 2 irgendwie modificirt, nämlich einen 
i 
/ \ 
Ausdruck U=i x\ — )X(x 1 , ... x n + 2 ) hinzufügt, 
worin X eine ganz beliebige Form vom 
2 -f - n 
ten Grade 
bedeutet. Dies ergiebt sich auf folgende Weise. Es ist 
n-j-l 
d 2 U 
dx 2 ~ 
d 2 U 
dx 2 
0X n + 2 
i n-f-x \ 
4x n+2 
= -2X 
*>'Vi 
dX 
l_ d*x 
n+2 dx 2 
n -j-2 
n-1-1 
1 
n-|-2 
also, da der Factor der zweiten Differentialquotienten von 
X gleich Null ist, 
n-\-1 
2 
d 2 u 
da? 
l vx h 
8 2 U 
ëx l + 2 
n-(-2 
'S 1 , dx 
2(n + 2)X+4 ¿jX h 
dx h 
nach dem Euler’schen Theorem über homogene Functionen 
ist aber 
«. + 2 
^X h 
dx h 
X, 
folglich