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Ueber die Gleichung: Au -j- Je 2 u = 0. 
stehende (60) übergeht, das heisst, unter welchen nur die 
oben erwähnten Integrale übrig bleiben, dagegen diejenigen 
verschwinden, welche über die etwaige Unstetigkeitspunkte 
und Unstetigkeitslinien von u ausschneidenden Curven zu 
erstrecken sind, ergiebt sich daher der folgende, von H. Weber 
aufgestellte Satz: 
Wenn eine Function u in einem endlichen ebenen Bereiche 
nur ausserwesentlich singuläre Funkte in endlicher Anzahl besitzt 
und den Bedingungen genügt, dass die Funkte, in denen die Diffe 
rentialgleichung Au -f- k 2 u — 0 nicht erfüllt ist, keine Fläche, 
die Funkte, in denen u unstetig ist, keine Linie erfüllen, dass 
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ferner an jedem Unstetigkeitspunkte q , -- mit dem von letzterem 
aus gerechneten Badiusvedor q unendlich klein wird, dass die 
Differentialquotienten von u nach der Normale einer beliebigen 
Linie stets beiderseits gleich sind, und dass endlich keine 
clurch Aenderung des Werthes von u in einzelnen Funkten heb 
baren Unstetigkeiten vorhanden sind, so ist die Function u nebst 
allen* ihren Differentialquotienten im ganzen Bereiche endlich 
und stetig. 
Unter entsprechenden Voraussetzungen lässt sich für 
die Lösungen von Au -f- k 2 u = 0 im Raume von drei Dimen 
sionen die Darstellung 
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u(Xq, y 0 , z 0 ) 
1 f* r | _ d fcos lcr\ du 
J 1 dn\ r ) dn 
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ableiten, worin das Doppelintegral über irgend eine, den 
Punkt x 0 , y 0 , Z Q ganz umschliessende Fläche zu bilden ist; 
hieraus folgt dann wieder, dass u eine analytische Func 
tion von x 0 , y 0 , z 0 ist. Diese Darstellung durch ein Ober 
flächenintegral findet sich zuerst bei H. v. Helmholtz in 
der schon früher erwähnten Arbeit (Crelle’s Journal Bd. 57), 
welche überhaupt die erste allgemeine Untersuchung über 
die Differentialgleichung Am -p k 2 u — 0 enthält, sodann 
wieder bei Mathieu*) und Poincare**). Letzterer hat 
.*) Theorie des Potentials, Capitel III, § 10. 
**) Amer. Journ. of Math. XII, § 4.