I. Theil. 
Vorkommen der Differentialgleichung. 
A. Entstehung in der Physik. 
§ 1. Indirectes Auftreten. 
In der Physik gelangt man zur Differentialgleichung 
Au -f- k 2 u = 0 
(und zu verwandten) in den weitaus meisten und wichtigsten 
Fällen dadurch, dass man für eine Function des Ortes und 
der Zeit, welche einer linearen partiellen Differentialgleichung 
zweiter Ordnung genügt, hinsichtlich ihrer Abhängigkeit von 
der Zeit t eine bestimmte Annahme macht, nämlich sie gleich 
dem Producte aus einer trigonometrischen oder Exponential- 
function von t und einer Function der Coordinaten setzt, 
welche letztere dann der hier zu betrachtenden Gleichung 
genügen muss. Bei der einen Classe von Problemen, nämlich 
denjenigen, hei welchen es sich um unendlich kleine freie 
Schwingungen continuirlicher Körper handelt (a, t), c der unten 
folgenden Aufzählung), führt man als von der Zeit abhän 
gigen Factor eine trigonometrische Function der Zeit ein, weil 
man nach Analogie der Fourier sehen Reihenentwickelung als 
sicher annimmt, dass die allgemeinste solche Schwingungs 
art eine Ueberlagerung unendlich vieler harmonischer, d. h. 
durch trigonometrische Functionen von t darstellbarer Schwin 
gungen ist. Diese Annahme findet eine Bestätigung in dem von 
G. S. Ohm*) und H. v. Helmholtz**) aufgestellten akustischen 
Erfahrungssatze, dass jeder von irgend einem schwingenden 
Körper erzeugte Klang eine Ueberlagerung einfacher Töne 
*) G. S. Ohm: Pogg. Ann. 59, 513—65, 1843; 62, 1 — 18, 1844. 
'■**) H. v. Helmholtz: Pogg. Ann. 108, 280—290. 1859.