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Diejenigen Relationen, welche sich aus dem ersten Theile 
der Gleichung (59) ergeben, wenn man für u und u" zwei 
verschiedene oder eine und dieselbe Lösung von Am -f- k 2 u = 0 
oder der allgemeineren Differentialgleichung (13) setzt, wur 
den bereits in II, § 4, S. 57 — 59 aufgestellt und mehrfach 
benutzt. — 
Eine weitere Folgerung aus dem Green’schen Satze ist 
folgender Satz: 
Eine Lösung u der Differentialgleichung A u -f- k 2 m = 0 in 
der Ebene, welche längs eines beliebig kurzen Curvenstückes, 
oder eine solche im Raume, welche längs eines beliebig kleinen 
Flächenstückes zugleich mit ihrer ersten Ableitung nach dessen 
Normale verschwindet, ist überhaupt identisch gleich Null. 
Um diesen Satz für die Ebene zu beweisen, setze man 
(nach H. Weber) in der Green’schen Gleichung 
J J (u Au" — u"Au)df =J (m' ^ — u —) ds 
für u jene Lösung u und für u" das logarithmische Potential 
log-^-, wobei der Nullpunkt und der Radius R so gewählt 
werde, dass von demjenigen Curvenstück, auf welchem 
u = Tr— = 0 ist, und von dem Kreise mit dem Radius R 
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ein Flächenstück begrenzt wird, innerhalb dessen und auf 
dessen Begrenzung u das Vorzeichen nicht wechselt; dies 
kann man (sofern unendlich dichte Häufung singulärer Punkte 
gesprochen in der 1840 erschienenen berühmten Abhandlung von Gauss: 
„Allgemeine Lehrsätze in Beziehung auf die im verkehrten Verhältnisse 
des Quadrates der Entfernung wirkenden Anziehungs- und Abstossungs- 
kräfte“; die Formel (59), aus welcher sie alle unmittelbar ableitbar 
sind, ist aber schon 1828 von G. Green in seinem „Essay on the 
application of mathematical analysis to the theories of electricity and 
magnetism“ (wieder abgedruckt in Crelle’s Journal B9 ? 44 und 47 und 
in Green’s Math. Papers, London 1871) aufgestellt worden.