Allgemeine Sätze über die Functionen u. § 3. 
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und wesentlich singuläre Punkte ausgeschlossen werden) jeden 
falls dadurch erreichen, dass man jenes Flächenstück hin 
reichend klein macht. Der Green’sche Satz, auf das letztere 
angewendet, ergiebt dann: 
JJ lo s i d f=j I® i l~«\ ds - 
Das Randintegral verschwindet für das Curvenstück, auf 
welchem u — = 0 ist, und reducirt sich auf 
on 7 
f*¥fcä,-±f > 
für den Kreisbogen, wobei das obere oder untere Vorzeichen 
gilt, je nachdem r die äussere oder innere Normale des 
Kreisbogens ist. Im ersteren Falle ist innerhalb des Flächen 
stücks log < 0, hu letzteren >0; die Gleichung 
JJ k 2 u • log df = + J*üds 
steht demnach im Widerspruch zu den obigen Voraus 
setzungen, ausser wenn u constant = 0 ist. Man kann nun 
das Flächenstück, für welches jetzt der Satz bewiesen ist, 
successive erweitern, indem man immer neue, durch eine 
innerhalb des vorher betrachteten Flächenstückes liegende 
Curve und einen neuen Kreisbogen begrenzte Flächenstücke 
hinzufügt. So ergiebt sich, dass die Function u, soweit sie 
überhaupt mit den gewöhnlichen Stetigkeitseigenschaften 
deünirt ist, identisch = 0 sein muss. Für den Baum ist 
der Beweis ganz analog zu führen, indem statt log ^ das 
Newton’sche Potential — 4 und statt des Kreises natür- 
r Jx 
lieh eine Kugelfläche zu Hülfe genommen wird. 
Eine unmittelbare Folge dieses Satzes, welcher übrigens 
auch für die Lösungen der allgemeineren Differentialgleichung 
Au -f- Ti 2 fu — 0 gilt, wenn f eine überall positive Orts 
function bezeichnet, ist die, dass eine Lösung u in einem 
ebenen bezw. räumlichen Bereiche, in welchem sie die be 
kannten Stetigkeitseigenschaften besitzen soll, vollständig